Номер 599, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. Квадратный трёхчлен и его корни. § 8. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 599, страница 139.

599. Найдите корни многочлена:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} x^2-7x=0 \\ x(x-7)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& x-7=0\\ & & x=7\end{array} \\ \text{Ответ:} 0; 7 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 2x-5=0 \\ 2x=5 \\ x=2,5 \\ \text{Ответ:} 2,5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} y^3-4y=0 \\ y(y^2-4)=0 \\ \begin{array}{ccll}y=0& \text{или}& y^2-4=0& \\ & & (y-2)(y+2)=0& \\ & & y-2=0 \text{или}& y+2=0\\ & & y=2& y=-2\end{array} \\ \text{Ответ:} -2; 0; 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} y^4-16=0 \\ (y^2-4)(y^2+4)=0 \\ \begin{array}{lcl}{y}^2-4=0& \text{или}& y^2+4=0\\ y^2=4& & y^2=-4\\ y_1=2& & \text{корней нет}\\ y_2=-2& & \end{array} \\ \text{Ответ:} -2; 2 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти корни многочлена, необходимо приравнять его к нулю и решить полученное уравнение.

$x^2 - 7x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 7) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, имеем два случая:

$x_1 = 0$

или

$x - 7 = 0$, откуда $x_2 = 7$.

Корнями многочлена являются 0 и 7.

Ответ: 0; 7.

б) Приравняем многочлен к нулю:

$2x - 5 = 0$

Это линейное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$2x = 5$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x = 5/2$

$x = 2,5$

Корень многочлена равен 2,5.

Ответ: 2,5.

в) Приравняем многочлен к нулю:

$y^3 - 4y = 0$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(y^2 - 4) = 0$

Выражение в скобках представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$y(y - 2)(y + 2) = 0$

Приравняем каждый из множителей к нулю:

$y_1 = 0$

$y - 2 = 0 \implies y_2 = 2$

$y + 2 = 0 \implies y_3 = -2$

Корнями многочлена являются -2, 0 и 2.

Ответ: -2; 0; 2.

г) Приравняем многочлен к нулю:

$y^4 - 16 = 0$

Это выражение можно представить как разность квадратов $(y^2)^2 - 4^2$ и разложить на множители:

$(y^2 - 4)(y^2 + 4) = 0$

Первый множитель $(y^2 - 4)$ также является разностью квадратов и раскладывается на $(y-2)(y+2)$.

$(y - 2)(y + 2)(y^2 + 4) = 0$

Рассмотрим каждый множитель:

1) $y - 2 = 0 \implies y_1 = 2$

2) $y + 2 = 0 \implies y_2 = -2$

3) $y^2 + 4 = 0 \implies y^2 = -4$. Это уравнение не имеет действительных корней, поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен ($y^2 \ge 0$).

Таким образом, действительными корнями многочлена являются -2 и 2.

Ответ: -2; 2.