Номер 597, страница 136 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Теорема Виета. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 597, страница 136.

597. Найдите стороны прямоугольника, если известно, что одна из них на 14 см больше другой, а диагональ прямоугольника равна 34 см.

Пусть x см - меньшая сторона прямоугольника, тогда (x+14)см - большая сторона прямоугольника. Зная, что диагональ прямоугольника равна 34см, по теореме Пифагора составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} x^2+{(x+14)}^2={34}^2 \\ {x}^2+x^2+28x+196=1156 \\ {x}^2+28x-960=0 /:2 \\ {x}^2+14x-480=0 \\ D={14}^2-4·1·(-480)=196+1920=2116 \\ x=\frac{-14\pm \sqrt{2116}}{2}; x=\frac{-14\pm 46}{2} \end{gathered}$$

x=16 или x=-25 - не удовлетворяет условию задачи x>0

16+14=30(см)

Ответ: 16см и 30см

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $x$ см. Согласно условию, большая сторона на 14 см больше, следовательно, ее длина составляет $(x + 14)$ см.

Диагональ прямоугольника, его длина и ширина образуют прямоугольный треугольник, где стороны прямоугольника являются катетами, а диагональ — гипотенузой. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Составим уравнение на основе теоремы Пифагора, где катеты равны $x$ и $(x + 14)$, а гипотенуза равна 34 см:

$x^2 + (x + 14)^2 = 34^2$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + (x^2 + 2 \cdot 14 \cdot x + 14^2) = 1156$

$x^2 + x^2 + 28x + 196 = 1156$

$2x^2 + 28x + 196 - 1156 = 0$

$2x^2 + 28x - 960 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:

$x^2 + 14x - 480 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-480) = 196 + 1920 = 2116$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2116} = 46$.

Теперь найдем значения $x$:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 + 46}{2 \cdot 1} = \frac{32}{2} = 16$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 - 46}{2 \cdot 1} = \frac{-60}{2} = -30$

Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, корень $x_2 = -30$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, длина одной стороны прямоугольника равна 16 см.

Найдем длину второй стороны:

$x + 14 = 16 + 14 = 30$ см.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 16 см и 30 см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 16 см и 30 см.