Номер 596, страница 136 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Теорема Виета. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 596, страница 136.

596. Отношение гипотенузы прямоугольного треугольника к одному из катетов равно 1312, другой катет равен 15 см. Найдите периметр треугольника.

Дано: $$\begin{gathered} \frac{AB}{BC}=\frac{13}{12} \\ AC=15\text{см} \end{gathered}$$

Найти: P_ABC

Решение

Пусть x см - величина одной части, тогда AB=13x(см), BC=12x(см). Зная, что AC=15см по теореме Пифагора составим и решим уравнение

15²+(12x)²=(13x)²

225+144x²=169x²

25x²=225

x²=9

x=3 или x=-3 - не удовлетворяет условию задачи x>0

AB=3*13=39(см)

BC=3*12=36(см)

P_ABC=15+36+39=90(см)

Ответ: 90см

Обозначим стороны прямоугольного треугольника: $a$ и $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза.

Согласно условию, отношение гипотенузы к одному из катетов равно $\frac{13}{12}$. Пусть это будет катет $a$. Таким образом, мы имеем соотношение:
$\frac{c}{a} = \frac{13}{12}$

Это соотношение означает, что стороны $c$ и $a$ пропорциональны числам 13 и 12. Мы можем ввести коэффициент пропорциональности $x$ и выразить длины этих сторон через него:
$c = 13x$
$a = 12x$

Длина другого катета, $b$, задана и равна 15 см.

Воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим в это уравнение выражения для $a$, $b$ и $c$:
$(12x)^2 + 15^2 = (13x)^2$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:
$144x^2 + 225 = 169x^2$
Перенесем члены с $x^2$ в одну сторону:
$225 = 169x^2 - 144x^2$
$225 = 25x^2$
$x^2 = \frac{225}{25}$
$x^2 = 9$
Так как $x$ представляет собой коэффициент для длин сторон, он должен быть положительным числом:
$x = \sqrt{9} = 3$

Теперь мы можем найти длины катета $a$ и гипотенузы $c$:
$a = 12x = 12 \cdot 3 = 36$ см.
$c = 13x = 13 \cdot 3 = 39$ см.

Периметр треугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон.
$P = a + b + c$
$P = 36 \text{ см} + 15 \text{ см} + 39 \text{ см}$
$P = 90$ см.

Ответ: 90 см.