Номер 592, страница 136 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Теорема Виета. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 592, страница 136.

592. Докажите, что уравнение не может иметь корни одинаковых знаков:

а) 3x² + 113x – 7 = 0;

б) 5x² – 291x – 16 = 0.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 3x^2+113x-7=0 \\ D={113}^2-4·3·(-7)=12769+84=12853>0 \\ {x}_1+x_2=\frac{-113}{3} \\ {x}_1·x_2=\frac{-7}{3}<0 \end{gathered}$$

Значит, уравнение не может иметь корни одинаковых знаков

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 5x^2-291ч-16=0 \\ D={(-291)}^2-4·5·(-16)= \\ =84681+320=85001>0 \\ {x}^2-\frac{291}{5}x-\frac{16}{5}=0 \\ {x}_1+x_2=\frac{291}{5} \\ {x}_1·x_2=-\frac{16}{5}<0 \end{gathered}$$

Значит, уравнение не может иметь корни одинаковых знаков

Для доказательства воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, имеющего действительные корни $x_1$ и $x_2$, выполняются следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Корни уравнения могут иметь одинаковые знаки (оба положительные или оба отрицательные) только в том случае, если их произведение положительно ($x_1 \cdot x_2 > 0$). Если же произведение корней отрицательно ($x_1 \cdot x_2 < 0$), это означает, что один корень положителен, а другой отрицателен, то есть они имеют разные знаки.

Также необходимо убедиться, что уравнения в принципе имеют действительные корни. Условием существования действительных корней является неотрицательность дискриминанта: $D = b^2 - 4ac \ge 0$.

а) $3x^2 + 113x - 7 = 0$

1. Проверим наличие действительных корней.
Для этого уравнения коэффициенты равны: $a = 3$, $b = 113$, $c = -7$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 113^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 12769 + 84 = 12853$. Поскольку $D = 12853 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Проанализируем знаки корней.
Воспользуемся теоремой Виета для нахождения произведения корней $x_1$ и $x_2$: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-7}{3}$.

Так как произведение корней является отрицательным числом ($-\frac{7}{3} < 0$), то корни уравнения имеют разные знаки. Следовательно, они не могут быть одинаковых знаков, что и требовалось доказать.

Ответ: Произведение корней равно $\frac{-7}{3}$, что является отрицательным числом, поэтому корни имеют разные знаки.

б) $5x^2 - 291x - 16 = 0$

1. Проверим наличие действительных корней.
Для этого уравнения коэффициенты равны: $a = 5$, $b = -291$, $c = -16$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-291)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-16) = 84681 + 320 = 85001$. Поскольку $D = 85001 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Проанализируем знаки корней.
Воспользуемся теоремой Виета для нахождения произведения корней $x_1$ и $x_2$: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-16}{5}$.

Так как произведение корней является отрицательным числом ($-\frac{16}{5} < 0$), то корни уравнения имеют разные знаки. Следовательно, они не могут быть одинаковых знаков, что и требовалось доказать.

Ответ: Произведение корней равно $\frac{-16}{5}$, что является отрицательным числом, поэтому корни имеют разные знаки.