Номер 594, страница 136 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Теорема Виета. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 594, страница 136.

594. При каких значениях х верно равенство:

а) (3x + 1)² = 3x + 1;

б) (3x + 1)² = 3(x + 1);

в) (3x + 1)² = (2x – 5)²;

г) (3x + 4)² = 4(x + 3);

д) 4(x + 3)² = (2x + 6)²;

е) (6x + 3)² = (x – 4)²?

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} {(3x+1)}^2=3x+1 \\ {(3x+1)}^2-(3x+1)=0 \\ (3x+1)(3x+1-1)=0 \\ \begin{array}{lcl}3x+1=0& \text{или}& 3x=0\\ 3x=-1& & x=0\\ x=-\frac{1}{3}& & \end{array} \\ \text{Ответ:} 0; -\frac{1}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} {(3x+1)}^2=3(x+1) \\ 9x^2+6x+1-3x-3=0 \\ 9x^2+3x-2=0 \\ D=3^2-4·9·(-2)=9+72=81 \\ x=\frac{-3\pm \sqrt{81}}{18}, x=\frac{-3\pm 9}{18} \\ {x}_1=\frac{1}{3}; x_2=-\frac{12}{18}; x_2=-\frac{2}{3} \\ \text{Ответ:} -\frac{2}{3}; \frac{1}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} {(3x+1)}^2={(2x-5)}^2 \\ {(3x+1)}^2-{(2x-5)}^2=0 \\ \left(\right(3x+1)-(2x-5\left)\right)(3x+1+2x-5)=0 \\ (3x+1-2x+5)(5x-4)=0 \\ (x+6)(5x-4)=0 \\ \begin{array}{lcl}x+6=0& \text{или}& 5x-4=0\\ x=-6& & 5x=4\\ & & x=0,8\end{array} \\ \text{Ответ:} -6; 0,8 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} {(3x+4)}^2=4(x+3) \\ 9x^2+24x+16=4x+12 \\ 9x^2+24x-4x+16-12=0 \\ 9x^2+20x+4=0 \\ D={20}^2-4·4·9=400-144=256 \\ x=\frac{-20\pm \sqrt{256}}{18}; x=\frac{-20\pm 16}{18} \\ {x}_1=-\frac{2}{9}; x_2=-2 \\ \text{Ответ:} -\frac{2}{9}; -2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} 4{(x+3)}^2={(2x+6)}^2 \\ 4{(x+3)}^2=(2{(x+3))}^2 \\ 4{(x+3)}^2=4{(x+3)}^2 \\ {(x+3)}^2-{(x+3)}^2=0 \end{gathered}$$
0x=0
Ответ: любое число

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} {(6x+3)}^2={(x-4)}^2 \\ {(6x+3)}^2-{(x-4)}^2 \\ \left(\right(6x+3)-(x-4\left)\right)(6x+3+x-4)=0 \\ (6x+3-x+4)(7x-1)=0 \\ (5x+7)(7x-1)=0 \\ \begin{array}{lcl}5x+7=0& \text{или}& 7x-1=0\\ 5x=-7& & 7x=1\\ x=-\frac{7}{5}& & x=\frac{1}{7}\\ x=-1,4& & \end{array} \\ \text{Ответ:} -1,4; \frac{1}{7} \end{gathered}$$

а)

Решим уравнение $(3x + 1)^2 = 3x + 1$.

Это квадратное уравнение относительно выражения $(3x+1)$. Сделаем замену переменной. Пусть $y = 3x + 1$. Тогда уравнение примет вид:

$y^2 = y$

Перенесем все в левую часть и разложим на множители:

$y^2 - y = 0$

$y(y - 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $y$: $y_1 = 0$ или $y_2 = 1$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$:

1) Если $y = 0$, то $3x + 1 = 0$.

$3x = -1$

$x = - \frac{1}{3}$

2) Если $y = 1$, то $3x + 1 = 1$.

$3x = 0$

$x = 0$

Ответ: $x = - \frac{1}{3}$, $x = 0$.

б)

Решим уравнение $(3x + 1)^2 = 3(x + 1)$.

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

$9x^2 + 6x + 1 = 3x + 3$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$9x^2 + 6x - 3x + 1 - 3 = 0$

$9x^2 + 3x - 2 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 3^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-2) = 9 + 72 = 81$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{81}}{2 \cdot 9} = \frac{-3 + 9}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{81}}{2 \cdot 9} = \frac{-3 - 9}{18} = \frac{-12}{18} = - \frac{2}{3}$

Ответ: $x = - \frac{2}{3}$, $x = \frac{1}{3}$.

в)

Решим уравнение $(3x + 1)^2 = (2x - 5)^2$.

Это уравнение вида $A^2 = B^2$, которое равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ или $A = -B$.

Рассмотрим оба случая:

1) $3x + 1 = 2x - 5$

$3x - 2x = -5 - 1$

$x = -6$

2) $3x + 1 = -(2x - 5)$

$3x + 1 = -2x + 5$

$3x + 2x = 5 - 1$

$5x = 4$

$x = \frac{4}{5}$

Ответ: $x = -6$, $x = \frac{4}{5}$.

г)

Решим уравнение $(3x + 4)^2 = 4(x + 3)$.

Раскроем скобки в обеих частях:

$9x^2 + 24x + 16 = 4x + 12$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$9x^2 + 24x - 4x + 16 - 12 = 0$

$9x^2 + 20x + 4 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 20^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 400 - 144 = 256$

$\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-20 + 16}{2 \cdot 9} = \frac{-4}{18} = - \frac{2}{9}$

$x_2 = \frac{-20 - 16}{2 \cdot 9} = \frac{-36}{18} = -2$

Ответ: $x = -2$, $x = - \frac{2}{9}$.

д)

Решим уравнение $4(x + 3)^2 = (2x + 6)^2$.

Преобразуем правую часть уравнения, вынеся общий множитель 2 за скобки:

$(2x + 6)^2 = (2(x + 3))^2 = 2^2(x + 3)^2 = 4(x + 3)^2$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$4(x + 3)^2 = 4(x + 3)^2$

Мы получили тождество, то есть равенство, верное при любом значении переменной $x$.

Ответ: $x$ - любое действительное число.

е)

Решим уравнение $(6x + 3)^2 = (x - 4)^2$.

Воспользуемся свойством, что равенство $A^2 = B^2$ равносильно совокупности $A = B$ или $A = -B$.

Рассмотрим два случая:

1) $6x + 3 = x - 4$

$6x - x = -4 - 3$

$5x = -7$

$x = - \frac{7}{5}$

2) $6x + 3 = -(x - 4)$

$6x + 3 = -x + 4$

$6x + x = 4 - 3$

$7x = 1$

$x = \frac{1}{7}$

Ответ: $x = - \frac{7}{5}$, $x = \frac{1}{7}$.