Номер 590, страница 135 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Теорема Виета. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 590, страница 135.

590. Известно, что сумма квадратов корней уравнения x² – 3x + a = 0 равна 65. Найдите a.

$$\begin{gathered} x^2-3x+a=0 \\ {x_1}^2+{x_2}^2=65 \\ {x_1}^2+2x_1{x}_2+{x_2}^2-2x_1{x}_2=65 \end{gathered}$$

$\left\{\begin{array}{l}{(x_1+x_2)}^2-2x_1{x}_2=65\\ x_1+x_2=3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{3}^2-2x_1{x}_2=65\\ x_1+x_2=3\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}2x_1{x}_2=9-65\\ x_1+x_2=3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x_1{x}_2=-56\\ x_1=3-x_2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x}_1{x}_2=-28\\ x_1=3-x_2\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}(3-x_2)x_2=-28\\ x_1=3-x_2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}3x_2-{x_2}^2+28=0\\ x_1=3-x_2\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} -{x_2}^2+3x_2+28=0 \\ D=3^2-4·(-1)·28=9+112=121 \\ {x}_2=\frac{-3\pm \sqrt{121}}{-2}; x_2=\frac{-3\pm 11}{-2} \\ {x}_2=-4; x_2=7 \end{gathered}$$

Если x₂=-4, то x₁=3-(-4)=3+4=7

Если x₂=7, то x₁=3-7=-4

$a=x_1·x_2=-4·7=7·(-4)=-28$

Ответ: -28

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета. Дано квадратное уравнение вида $x^2 - 3x + a = 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — его корни.

Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения ($x^2 + px + q = 0$):

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем уравнении $x^2 - 3x + a = 0$ коэффициенты равны $p = -3$ и $q = a$. Применив теорему Виета, получаем:

$x_1 + x_2 = -(-3) = 3$
$x_1 \cdot x_2 = a$

По условию задачи, сумма квадратов корней равна 65:

$x_1^2 + x_2^2 = 65$

Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение. Для этого используем известную формулу, вытекающую из квадрата суммы:

$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$

Отсюда:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Теперь подставим в это выражение значения суммы и произведения корней, которые мы нашли по теореме Виета, а также значение суммы квадратов из условия задачи:

$65 = (3)^2 - 2 \cdot a$

Получили линейное уравнение относительно $a$. Решим его:

$65 = 9 - 2a$
$2a = 9 - 65$
$2a = -56$
$a = \frac{-56}{2}$
$a = -28$

Чтобы убедиться в корректности решения, проверим, имеет ли уравнение корни при найденном значении $a$. Для этого вычислим дискриминант $D$ уравнения $x^2 - 3x - 28 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121$

Так как $D = 121 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, следовательно, условие задачи выполнимо.

Ответ: $a = -28$.