Страница 135 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

578. Найдите сумму и произведение корней уравнения:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} x^2-37x+27=0 \\ D={(-37)}^2-4·1·27=1369-108=1261>0 \\ {x}_1+x_2=37; x_1·x_2=27 \\ \text{Ответ:} 37; 27 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} y^2+41y-371=0 \\ D={41}^2-4·1·(-371)=1681+1484=3165>0 \\ {y}_1+y_2=-41; y_1·y_2=-371 \\ \text{Ответ:} -41; -371 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} x^2-210x=0 \\ {x}_1+x_2=210; x_1·x_2=0 \\ \text{Ответ:} 210; 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} y^2-19=0 \\ {y}_1+y_2=0; y_1·y_2=-19 \\ \text{Ответ:} 0; -19 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} 2x^2-9x-10=0 \\ {x}^2-\frac{9}{2}x-\frac{10}{2}=0 \\ D={(-9)}^2-4·2·(-10)=81+80=161>0 \\ {x}_1+x_2=\frac{9}{2}=4,5; x_1·x_2=-5 \\ \text{Ответ:} 4,5; -5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} 5x^2+12x+7=0 \\ D={12}^2-4·5·7=144-140=4>0 \\ {x}^2+\frac{12}{5}x+\frac{7}{5}=0 \\ {x}_1+x_2=-\frac{12}{5}=-2,4; x_1·x_2=\frac{7}{5}=1,4 \\ \text{Ответ:} -2,4; 1,4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж)}} -z^2+z=0 \\ {z}^2-z=0 \\ {z}_1+z_2=1; z_1·z_2=0 \\ \text{Ответ:} 1; 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з)}} 3x^2-10=0 \\ {x}^2-\frac{10}{3}=0 \\ {x}_1+x_2=0; x_1·x_2=-\frac{10}{3}=-3\frac{1}{3} \\ \text{Ответ:} 0; -3\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Для нахождения суммы и произведения корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ используется теорема Виета. Согласно этой теореме, если у уравнения есть корни ($x_1$ и $x_2$), то их сумма и произведение вычисляются по формулам:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Перед применением теоремы Виета убедимся, что уравнения имеют действительные корни, проверив, что дискриминант $D = b^2 - 4ac \ge 0$.

а) Дано уравнение $x^2 - 37x + 27 = 0$.
Это приведенное квадратное уравнение, где коэффициенты: $a = 1$, $b = -37$, $c = 27$.
Дискриминант $D = (-37)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 1369 - 108 = 1261 > 0$, значит, корни существуют.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{-37}{1} = 37$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{27}{1} = 27$.
Ответ: сумма корней 37, произведение корней 27.

б) Дано уравнение $y^2 + 41y - 371 = 0$.
Коэффициенты: $a = 1$, $b = 41$, $c = -371$.
Дискриминант $D = 41^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-371) = 1681 + 1484 = 3165 > 0$, корни существуют.
Сумма корней: $y_1 + y_2 = - \frac{41}{1} = -41$.
Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = \frac{-371}{1} = -371$.
Ответ: сумма корней -41, произведение корней -371.

в) Дано уравнение $x^2 - 210x = 0$.
Это неполное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a = 1$, $b = -210$, $c = 0$.
Дискриминант $D = (-210)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 44100 > 0$, корни существуют.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{-210}{1} = 210$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{0}{1} = 0$.
Ответ: сумма корней 210, произведение корней 0.

г) Дано уравнение $y^2 - 19 = 0$.
Это неполное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a = 1$, $b = 0$, $c = -19$.
Дискриминант $D = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-19) = 76 > 0$, корни существуют.
Сумма корней: $y_1 + y_2 = - \frac{0}{1} = 0$.
Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = \frac{-19}{1} = -19$.
Ответ: сумма корней 0, произведение корней -19.

д) Дано уравнение $2x^2 - 9x - 10 = 0$.
Коэффициенты: $a = 2$, $b = -9$, $c = -10$.
Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 81 + 80 = 161 > 0$, корни существуют.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{-9}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{-10}{2} = -5$.
Ответ: сумма корней 4.5, произведение корней -5.

е) Дано уравнение $5x^2 + 12x + 7 = 0$.
Коэффициенты: $a = 5$, $b = 12$, $c = 7$.
Дискриминант $D = 12^2 - 4 \cdot 5 \cdot 7 = 144 - 140 = 4 > 0$, корни существуют.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{12}{5} = -2.4$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{7}{5} = 1.4$.
Ответ: сумма корней -2.4, произведение корней 1.4.

ж) Дано уравнение $-z^2 + z = 0$.
Это неполное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a = -1$, $b = 1$, $c = 0$.
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 0 = 1 > 0$, корни существуют.
Сумма корней: $z_1 + z_2 = - \frac{1}{-1} = 1$.
Произведение корней: $z_1 \cdot z_2 = \frac{0}{-1} = 0$.
Ответ: сумма корней 1, произведение корней 0.

з) Дано уравнение $3x^2 - 10 = 0$.
Это неполное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a = 3$, $b = 0$, $c = -10$.
Дискриминант $D = 0^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 120 > 0$, корни существуют.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{0}{3} = 0$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{-10}{3} = -3\frac{1}{3}$.
Ответ: сумма корней 0, произведение корней $-\frac{10}{3}$.

579. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} x^2-2x-9=0 \\ D={(-2)}^2-4·1·(-9)=4+36=40>0 \\ x=\frac{2\pm \sqrt{40}}{2}, x=\frac{2\pm 2\sqrt{10}}{2} \\ {x}_1=1+\sqrt{10}; x_2=1-\sqrt{10} \end{gathered}$$

Проверка по теореме, обратной теореме Виета

$$\begin{gathered} x_1+x_2=2; x_1·x_2=-9 \\ 1+\sqrt{10}+1-\sqrt{10}=2; \\ (1+\sqrt{10})(1-\sqrt{10})=1-10=-9 \\ \text{Ответ:} 1+\sqrt{10}; 1-\sqrt{10} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 3t^2-4t-4=0 \\ D={(-4)}^2-4·3·(-4)=16+48=64>0 \\ t=\frac{4\pm \sqrt{64}}{6}, t=\frac{4\pm 8}{6} \\ {t}_1=2; t_2=-\frac{4}{6}; t_2=-\frac{2}{3} \\ \text{Проверим:} t^2-\frac{4}{3}t-\frac{4}{3}=0 \\ {t}_1+t_2=\frac{4}{3}; t_1·t_2=-\frac{4}{3} \\ 2+\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{6-2}{3}=\frac{4}{3}; 2·\left(-\frac{2}{3}\right)= \\ =-\frac{4}{3}=-1\frac{1}{3} \\ \text{Ответ:} 2; -\frac{2}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 2z^2+7z-6=0 \\ D=7^2-4·2·(-6)=49+48=97>0 \\ z=\frac{-7\pm \sqrt{97}}{4} \\ {z}^2+\frac{7}{2}z-3=0; z^2+3,5z-3=0 \\ {z}_1+z_2=-3,5 \\ \frac{-7+\sqrt{97}}{4}+\frac{-z-\sqrt{97}}{4}= \\ =\frac{-7+\sqrt{97}-7-\sqrt{97}}{4}= \\ =\frac{-14}{4}=-\frac{7}{2}=-3,5 \\ {z}_1·z_2=-3 \\ \frac{-7+\sqrt{97}}{4}·\frac{-7-\sqrt{97}}{4}= \\ =\frac{-(7-\sqrt{97})·(-(7+\sqrt{97}\left)\right)}{16}= \\ =\frac{49-97}{16}=-\frac{48}{16}=3 \\ \text{Ответ:} \frac{-7+\sqrt{97}}{4}; \frac{-7-\sqrt{97}}{4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} 2t^2+9t+8=0 \\ D=9^2-4·2·8=81-64=17>0 \\ t=\frac{-9\pm \sqrt{17}}{4} \\ {t}^2+\frac{9}{7}t+4=0; t^2+4,5t+4=0 \\ {t}_1+t_2=-4,5 \\ \frac{-9+\sqrt{17}}{4}+\frac{-9-\sqrt{17}}{4}= \\ =\frac{-9+\sqrt{17}-9-\sqrt{17}}{4}= \\ =\frac{-18}{4}=-4,5 \\ {t}_1·t_2=4 \\ \frac{-9+\sqrt{17}}{4}·\frac{-9-\sqrt{17}}{4}= \\ =\frac{-(9-\sqrt{17})·(-(9+\sqrt{17}\left)\right)}{16}= \\ =\frac{81-17}{16}=\frac{64}{16}=4 \\ \text{Ответ:} \frac{-9+\sqrt{17}}{4}; \frac{-9-\sqrt{17}}{4} \end{gathered}$$

а) $x^2 - 2x - 9 = 0$

Решим данное квадратное уравнение. Это приведенное уравнение, его коэффициенты: $a=1, b=-2, c=-9$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 4 + 36 = 40$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 1 \pm \sqrt{10}$

Корни уравнения: $x_1 = 1 + \sqrt{10}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{10}$.

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:

Согласно теореме Виета, для приведенного уравнения $x^2 - 2x - 9 = 0$ сумма корней должна быть равна $-(-2)=2$, а произведение корней должно быть равно $-9$.

Проверим сумму найденных корней: $x_1 + x_2 = (1 + \sqrt{10}) + (1 - \sqrt{10}) = 2$. Условие выполняется.

Проверим произведение найденных корней: $x_1 \cdot x_2 = (1 + \sqrt{10})(1 - \sqrt{10}) = 1^2 - (\sqrt{10})^2 = 1 - 10 = -9$. Условие выполняется.

Так как оба условия выполнены, найденные корни верны.

Ответ: $1 \pm \sqrt{10}$.

б) $3t^2 - 4t - 4 = 0$

Решим уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=3, b=-4, c=-4$.

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64$

Корни уравнения:

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 8}{6}$

$t_1 = \frac{4+8}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$t_2 = \frac{4-8}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:

Приведем уравнение к виду $t^2 + \frac{b}{a}t + \frac{c}{a} = 0$, разделив все члены на 3: $t^2 - \frac{4}{3}t - \frac{4}{3} = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $t_1+t_2$ должна быть равна $-(-\frac{4}{3}) = \frac{4}{3}$, а произведение $t_1 \cdot t_2$ должно быть равно $-\frac{4}{3}$.

Проверим сумму: $t_1 + t_2 = 2 + (-\frac{2}{3}) = \frac{6}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$. Условие выполняется.

Проверим произведение: $t_1 \cdot t_2 = 2 \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{4}{3}$. Условие выполняется.

Оба условия выполнены, найденные корни верны.

Ответ: $2; -\frac{2}{3}$.

в) $2z^2 + 7z - 6 = 0$

Решим уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=2, b=7, c=-6$.

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 49 + 48 = 97$

Корни уравнения:

$z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{97}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 \pm \sqrt{97}}{4}$

Корни: $z_1 = \frac{-7 + \sqrt{97}}{4}$ и $z_2 = \frac{-7 - \sqrt{97}}{4}$.

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:

Приведем уравнение к виду $z^2 + \frac{b}{a}z + \frac{c}{a} = 0$, разделив все члены на 2: $z^2 + \frac{7}{2}z - 3 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $z_1+z_2$ должна быть равна $-\frac{7}{2}$, а произведение $z_1 \cdot z_2$ должно быть равно $-3$.

Проверим сумму: $z_1 + z_2 = \frac{-7 + \sqrt{97}}{4} + \frac{-7 - \sqrt{97}}{4} = \frac{-7 + \sqrt{97} - 7 - \sqrt{97}}{4} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2}$. Условие выполняется.

Проверим произведение: $z_1 \cdot z_2 = \left(\frac{-7 + \sqrt{97}}{4}\right) \cdot \left(\frac{-7 - \sqrt{97}}{4}\right) = \frac{(-7)^2 - (\sqrt{97})^2}{16} = \frac{49-97}{16} = \frac{-48}{16} = -3$. Условие выполняется.

Оба условия выполнены, найденные корни верны.

Ответ: $\frac{-7 \pm \sqrt{97}}{4}$.

г) $2t^2 + 9t + 8 = 0$

Решим уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=2, b=9, c=8$.

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = 81 - 64 = 17$

Корни уравнения:

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 \pm \sqrt{17}}{4}$

Корни: $t_1 = \frac{-9 + \sqrt{17}}{4}$ и $t_2 = \frac{-9 - \sqrt{17}}{4}$.

Проверка по теореме, обратной теореме Виета:

Приведем уравнение к виду $t^2 + \frac{b}{a}t + \frac{c}{a} = 0$, разделив все члены на 2: $t^2 + \frac{9}{2}t + 4 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $t_1+t_2$ должна быть равна $-\frac{9}{2}$, а произведение $t_1 \cdot t_2$ должно быть равно $4$.

Проверим сумму: $t_1 + t_2 = \frac{-9 + \sqrt{17}}{4} + \frac{-9 - \sqrt{17}}{4} = \frac{-9 + \sqrt{17} - 9 - \sqrt{17}}{4} = \frac{-18}{4} = -\frac{9}{2}$. Условие выполняется.

Проверим произведение: $t_1 \cdot t_2 = \left(\frac{-9 + \sqrt{17}}{4}\right) \cdot \left(\frac{-9 - \sqrt{17}}{4}\right) = \frac{(-9)^2 - (\sqrt{17})^2}{16} = \frac{81-17}{16} = \frac{64}{16} = 4$. Условие выполняется.

Оба условия выполнены, найденные корни верны.

Ответ: $\frac{-9 \pm \sqrt{17}}{4}$.

580. Найдите корни уравнения и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} x^2-15x-16=0 \\ D={(-15)}^2-4·1·(-16)=225+64=289>0 \\ x=\frac{15\pm \sqrt{289}}{2}, x=\frac{15\pm 17}{2} \\ {x}_1=16; \text{или} x_2=-1 \\ \text{Проверка:} \\ {x}_1+x_2=16+(-1)=15 \\ {x}_1·x_2=16·(-1)=-16 \\ \text{Ответ:} -1; 16 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} m^2-6m-11=0 \\ D={(-6)}^2-4·1·(-11)=36+44=80>0 \\ m=\frac{6\pm \sqrt{80}}{2}, m=\frac{6\pm 4\sqrt{5}}{2} \\ {m}_1=3+2\sqrt{5}; m_2=3-2\sqrt{5} \\ \text{Проверка:} \\ {m}_1+m_2=6 \\ 3+2\sqrt{5}+3-2\sqrt{5}=6 \\ {m}_1·m_2=-11 \\ (3+2\sqrt{5})(3-2\sqrt{5})=9-20=-11 \\ \text{Ответ:} 3+2\sqrt{5}; 3-2\sqrt{5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 12x^2-4x-1=0 \\ D={(-4)}^2-4·12·(-1)=16+48=64>0 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} x=\frac{4\pm \sqrt{64}}{24}; \\ {x}_1=\frac{12}{24} \\ {x}_1=\frac{1}{2} \end{gathered}$$$$\begin{gathered} x=\frac{4\pm 8}{24} \\ {x}_2=-\frac{4}{24} \\ {x}_2=-\frac{1}{6} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x^2-\frac{4}{12}x-\frac{1}{12}=0 \\ \text{Проверка:} \\ {x}_1+x_2=\frac{4}{12}; x_1+x_2=\frac{1}{3} \\ {x}_1+x_2=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{3}{6}-\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \\ {x}_1·x_2=-\frac{1}{12} \\ \frac{1}{2}·\left(-\frac{1}{6}\right)=-\frac{1}{12} \\ \text{Ответ:} -\frac{1}{6}; \frac{1}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} t^2-6=0 \\ {t}^2=6 \\ {t}_1=\sqrt{6}; t_2=-\sqrt{6} \\ \text{Проверка:} \\ {t}_1+t_2=0 \\ \sqrt{6}+(-\sqrt{6})=0 \\ {t}_1·t_2=-6 \\ \sqrt{6}·(-\sqrt{6})=-6 \\ \text{Ответ:} -\sqrt{6}; \sqrt{6} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} 5x^2-18x=0; x^2-\frac{18}{5}x=0 \\ x(5x-18)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& 5x-18=0\\ & & 5x=18\\ & & x=\frac{18}{5}\\ & & x=3,6\end{array} \\ \text{Проверка:} \\ {x}_1+x_2=3,6 \\ 0+3,6=3,6 \\ {x}_1·x_2=0 \\ 0·3,6=0 \\ \text{Ответ:} 0; 3,6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} 2y^2-41=0 \\ {y}^2-\frac{41}{2}=0 \\ {y}^2-20,5=0 \\ {y}^2=20,5 \\ {y}_1=\sqrt{20,5}; y_2=-\sqrt{20,5} \\ \text{Проверка:} \\ {x}_1+x_2=0 \\ \sqrt{20,5}+(-\sqrt{20,5})=0 \\ {x}_1·x_2=-20,5 \\ -\sqrt{20,5}·\sqrt{20,5}=-20,5 \\ \text{Ответ:} -\sqrt{20,5}; \sqrt{20,5} \end{gathered}$$

а) $x^2 - 15x - 16 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение ($a=1$). Найдем корни с помощью дискриминанта.

$a=1, b=-15, c=-16$

$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289 = 17^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 \pm 17}{2}$

$x_1 = \frac{15 + 17}{2} = \frac{32}{2} = 16$

$x_2 = \frac{15 - 17}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Выполним проверку по теореме, обратной теореме Виета. Для уравнения $x^2 + px + q = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = q$.

В нашем случае $p = -15$ и $q = -16$.

Проверяем сумму найденных корней: $x_1 + x_2 = 16 + (-1) = 15$. По теореме Виета, сумма должна быть равна $-p = -(-15) = 15$. Совпадает.

Проверяем произведение найденных корней: $x_1 \cdot x_2 = 16 \cdot (-1) = -16$. По теореме Виета, произведение должно быть равно $q = -16$. Совпадает.

Так как условия теоремы, обратной теореме Виета, выполняются, найденные корни верны.

Ответ: $x_1 = 16, x_2 = -1$.

б) $m^2 - 6m - 11 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Найдем корни с помощью дискриминанта.

$a=1, b=-6, c=-11$

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 36 + 44 = 80$

$\sqrt{D} = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$

$m_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{5}$

$m_1 = 3 + 2\sqrt{5}$

$m_2 = 3 - 2\sqrt{5}$

Выполним проверку по теореме, обратной теореме Виета. В нашем уравнении $p = -6$ и $q = -11$.

Проверяем сумму корней: $m_1 + m_2 = (3 + 2\sqrt{5}) + (3 - 2\sqrt{5}) = 6$. По теореме Виета: $-p = -(-6) = 6$. Совпадает.

Проверяем произведение корней: $m_1 \cdot m_2 = (3 + 2\sqrt{5})(3 - 2\sqrt{5}) = 3^2 - (2\sqrt{5})^2 = 9 - 4 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$. По теореме Виета: $q = -11$. Совпадает.

Найденные корни верны.

Ответ: $m_1 = 3 + 2\sqrt{5}, m_2 = 3 - 2\sqrt{5}$.

в) $12x^2 - 4x - 1 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта.

$a=12, b=-4, c=-1$

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 16 + 48 = 64 = 8^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 8}{2 \cdot 12} = \frac{4 \pm 8}{24}$

$x_1 = \frac{4 + 8}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{4 - 8}{24} = \frac{-4}{24} = -\frac{1}{6}$

Выполним проверку по теореме, обратной теореме Виета. Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

Проверяем сумму корней: $x_1 + x_2 = \frac{1}{2} + (-\frac{1}{6}) = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. По теореме Виета: $-\frac{b}{a} = -\frac{-4}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$. Совпадает.

Проверяем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{6}) = -\frac{1}{12}$. По теореме Виета: $\frac{c}{a} = \frac{-1}{12} = -\frac{1}{12}$. Совпадает.

Найденные корни верны.

Ответ: $x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = -\frac{1}{6}$.

г) $t^2 - 6 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Решим его.

$t^2 = 6$

$t_{1,2} = \pm\sqrt{6}$

$t_1 = \sqrt{6}, t_2 = -\sqrt{6}$

Выполним проверку по теореме, обратной теореме Виета. Уравнение можно записать как $t^2 + 0 \cdot t - 6 = 0$. Здесь $a=1, b=0, c=-6$.

Проверяем сумму корней: $t_1 + t_2 = \sqrt{6} + (-\sqrt{6}) = 0$. По теореме Виета: $-\frac{b}{a} = -\frac{0}{1} = 0$. Совпадает.

Проверяем произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = \sqrt{6} \cdot (-\sqrt{6}) = -6$. По теореме Виета: $\frac{c}{a} = \frac{-6}{1} = -6$. Совпадает.

Найденные корни верны.

Ответ: $t_1 = \sqrt{6}, t_2 = -\sqrt{6}$.

д) $5x^2 - 18x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Решим его, вынеся общий множитель за скобки.

$x(5x - 18) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

$x_1 = 0$ или $5x - 18 = 0 \Rightarrow 5x = 18 \Rightarrow x_2 = \frac{18}{5} = 3.6$

Выполним проверку по теореме, обратной теореме Виета. Уравнение можно записать как $5x^2 - 18x + 0 = 0$. Здесь $a=5, b=-18, c=0$.

Проверяем сумму корней: $x_1 + x_2 = 0 + \frac{18}{5} = \frac{18}{5}$. По теореме Виета: $-\frac{b}{a} = -\frac{-18}{5} = \frac{18}{5}$. Совпадает.

Проверяем произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 0 \cdot \frac{18}{5} = 0$. По теореме Виета: $\frac{c}{a} = \frac{0}{5} = 0$. Совпадает.

Найденные корни верны.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = \frac{18}{5}$.

е) $2y^2 - 41 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Решим его.

$2y^2 = 41$

$y^2 = \frac{41}{2}$

$y_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{41}{2}}$

$y_1 = \sqrt{\frac{41}{2}}, y_2 = -\sqrt{\frac{41}{2}}$

Выполним проверку по теореме, обратной теореме Виета. Уравнение можно записать как $2y^2 + 0 \cdot y - 41 = 0$. Здесь $a=2, b=0, c=-41$.

Проверяем сумму корней: $y_1 + y_2 = \sqrt{\frac{41}{2}} + (-\sqrt{\frac{41}{2}}) = 0$. По теореме Виета: $-\frac{b}{a} = -\frac{0}{2} = 0$. Совпадает.

Проверяем произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = \sqrt{\frac{41}{2}} \cdot (-\sqrt{\frac{41}{2}}) = -\frac{41}{2}$. По теореме Виета: $\frac{c}{a} = \frac{-41}{2} = -\frac{41}{2}$. Совпадает.

Найденные корни верны.

Ответ: $y_1 = \sqrt{\frac{41}{2}}, y_2 = -\sqrt{\frac{41}{2}}$.

581. Найдите подбором корни уравнения:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} x^2-9x+20=0 \\ D={(-9)}^2-4·1·20=81-80=1>0 \\ {x}_1+x_2=9, x_1·x_2=20 \\ {x}_1=5; x_2=4 \\ \text{Ответ:} 4; 5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} y^2+11y-12=0 \\ D={11}^2-4·1·(-12)=121+48=169>0 \\ {y}_1+y_2=-11; y_1·y_2=-12 \\ {y}_1=-12; y_2=1 \\ \text{Ответ:} -12; 1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} y^2+y-56=0 \\ D=1^2-4·1·(-56)=1+224=225>0 \\ {y}_1+y_2=-1; y_1·y_2=-56 \\ {y}_1=-8; y_2=7 \\ \text{Ответ:} -8; 7 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} z^2-19z+88=0 \\ D={(-19)}^2-4·1·88=361-352=9>0 \\ {z}_1+z_2=19; z_1·z_2=88 \\ {z}_1=11; z_2=8 \\ \text{Ответ:} 8; 11 \end{gathered}$$

а) $x^2 - 9x + 20 = 0$

Для решения данного квадратного уравнения методом подбора воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней $x_1 + x_2$ равна $-p$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2$ равно $q$.

В нашем случае коэффициенты равны $p = -9$ и $q = 20$.Следовательно, мы ищем два числа $x_1$ и $x_2$, для которых выполняются следующие условия:

$x_1 + x_2 = -(-9) = 9$

$x_1 \cdot x_2 = 20$

Начнем подбор с произведения. Нам нужно найти два числа, произведение которых равно 20. Так как их сумма (9) положительна, то оба корня, скорее всего, положительны. Рассмотрим пары целых чисел, дающих в произведении 20:

• 1 и 20. Сумма: $1 + 20 = 21$. Не подходит.
• 2 и 10. Сумма: $2 + 10 = 12$. Не подходит.
• 4 и 5. Сумма: $4 + 5 = 9$. Подходит.

Таким образом, мы нашли числа 4 и 5, которые удовлетворяют обоим условиям.

Проверка:

Для $x = 4$: $4^2 - 9 \cdot 4 + 20 = 16 - 36 + 20 = 0$.

Для $x = 5$: $5^2 - 9 \cdot 5 + 20 = 25 - 45 + 20 = 0$.

Ответ: $x_1 = 4, x_2 = 5$.

б) $y^2 + 11y - 12 = 0$

Применим теорему Виета. Для уравнения $y^2 + py + q = 0$ с коэффициентами $p = 11$ и $q = -12$, сумма и произведение корней должны удовлетворять системе:

$y_1 + y_2 = -11$

$y_1 \cdot y_2 = -12$

Поскольку произведение корней отрицательно ($ -12 $), один корень будет положительным, а другой — отрицательным. Начнем подбирать пары целых чисел, произведение которых равно -12:

• -1 и 12. Сумма: $-1 + 12 = 11$. Не подходит.
• 1 и -12. Сумма: $1 + (-12) = -11$. Подходит.

Мы нашли пару чисел 1 и -12, которая удовлетворяет обоим условиям. Другие пары (например, 2 и -6, 3 и -4) можно не проверять.

Проверка:

Для $y = 1$: $1^2 + 11 \cdot 1 - 12 = 1 + 11 - 12 = 0$.

Для $y = -12$: $(-12)^2 + 11 \cdot (-12) - 12 = 144 - 132 - 12 = 0$.

Ответ: $y_1 = 1, y_2 = -12$.

в) $y^2 + y - 56 = 0$

Используем теорему Виета. Здесь коэффициенты $p = 1$ и $q = -56$. Искомые корни $y_1$ и $y_2$ должны удовлетворять системе:

$y_1 + y_2 = -1$

$y_1 \cdot y_2 = -56$

Произведение корней отрицательно, значит, они имеют разные знаки. Сумма корней равна -1, это означает, что отрицательный корень по модулю на 1 больше положительного.

Будем искать пары целых чисел, произведение которых равно -56. Нам нужны два числа, близкие по модулю.

• 1 и -56. Сумма: -55.
• 2 и -28. Сумма: -26.
• 4 и -14. Сумма: -10.
• 7 и -8. Сумма: $7 + (-8) = -1$. Подходит.

Корни уравнения — это числа 7 и -8.

Проверка:

Для $y = 7$: $7^2 + 7 - 56 = 49 + 7 - 56 = 0$.

Для $y = -8$: $(-8)^2 + (-8) - 56 = 64 - 8 - 56 = 0$.

Ответ: $y_1 = 7, y_2 = -8$.

г) $z^2 - 19z + 88 = 0$

Снова воспользуемся теоремой Виета. Коэффициенты $p = -19$ и $q = 88$. Для корней $z_1$ и $z_2$ справедливы соотношения:

$z_1 + z_2 = -(-19) = 19$

$z_1 \cdot z_2 = 88$

Произведение и сумма корней положительны, следовательно, оба корня — положительные числа. Подберем пары целых положительных чисел, произведение которых равно 88:

• 1 и 88. Сумма: $1 + 88 = 89$. Не подходит.
• 2 и 44. Сумма: $2 + 44 = 46$. Не подходит.
• 4 и 22. Сумма: $4 + 22 = 26$. Не подходит.
• 8 и 11. Сумма: $8 + 11 = 19$. Подходит.

Найденные числа 8 и 11 являются корнями уравнения.

Проверка:

Для $z = 8$: $8^2 - 19 \cdot 8 + 88 = 64 - 152 + 88 = 152 - 152 = 0$.

Для $z = 11$: $11^2 - 19 \cdot 11 + 88 = 121 - 209 + 88 = 209 - 209 = 0$.

Ответ: $z_1 = 8, z_2 = 11$.

582. Найдите подбором корни уравнения:

а) x² + 16x + 63 = 0;

б) z² + 2z – 48 = 0.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} x^2+16x+63=0 \\ D={16}^2-4·1·63=256-252=4>0 \\ {x}_1+x_2=-16; x_1·x_2=63 \\ {x}_1=-9; x_2=-7 \\ \text{Ответ:} -9; -7 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} z^2+2z-48=0 \\ D=2^2-4·1·(-48)=4+192=196>0 \\ {z}_1+z_2=-2; z_1·z_2=-48 \\ {z}_1=-8; z_2=6 \\ \text{Ответ:} -8; 6 \end{gathered}$$

а) $x^2 + 16x + 63 = 0$

Для нахождения корней данного приведенного квадратного уравнения воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, для уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней $x_1$ и $x_2$ равна второму коэффициенту с противоположным знаком ($-p$), а их произведение равно свободному члену ($q$).

В нашем уравнении коэффициенты равны $p = 16$ и $q = 63$. Таким образом, мы ищем два числа, которые удовлетворяют системе уравнений:

$x_1 + x_2 = -16$

$x_1 \cdot x_2 = 63$

Подберем целые числа, произведение которых равно 63. Поскольку произведение положительное ($63$), а сумма отрицательная ($-16$), оба корня должны быть отрицательными.

Рассмотрим пары отрицательных множителей числа 63 и проверим их сумму:

Пара $-1$ и $-63$: сумма $-1 + (-63) = -64$. Не подходит.

Пара $-3$ и $-21$: сумма $-3 + (-21) = -24$. Не подходит.

Пара $-7$ и $-9$: сумма $-7 + (-9) = -16$. Эта пара чисел удовлетворяет обоим условиям.

Следовательно, корнями уравнения являются $x_1 = -7$ и $x_2 = -9$.

Выполним проверку:

Для $x = -7$: $(-7)^2 + 16(-7) + 63 = 49 - 112 + 63 = 0$.

Для $x = -9$: $(-9)^2 + 16(-9) + 63 = 81 - 144 + 63 = 0$.

Оба корня найдены верно.

Ответ: $x_1 = -7$, $x_2 = -9$.

б) $z^2 + 2z - 48 = 0$

Воспользуемся теоремой Виета и для этого уравнения. Здесь коэффициенты равны $p = 2$ и $q = -48$.

Ищем два числа, $z_1$ и $z_2$, для которых выполняются условия:

$z_1 + z_2 = -2$

$z_1 \cdot z_2 = -48$

Поскольку произведение корней отрицательно ($-48$), корни должны иметь разные знаки. Поскольку их сумма отрицательна ($-2$), отрицательный корень должен иметь больший модуль.

Подберем пары множителей числа $-48$ и проверим их сумму:

Пара $1$ и $-48$: сумма $1 + (-48) = -47$. Не подходит.

Пара $2$ и $-24$: сумма $2 + (-24) = -22$. Не подходит.

Пара $3$ и $-16$: сумма $3 + (-16) = -13$. Не подходит.

Пара $4$ и $-12$: сумма $4 + (-12) = -8$. Не подходит.

Пара $6$ и $-8$: сумма $6 + (-8) = -2$. Эта пара чисел удовлетворяет обоим условиям.

Таким образом, корнями уравнения являются $z_1 = 6$ и $z_2 = -8$.

Выполним проверку:

Для $z = 6$: $6^2 + 2(6) - 48 = 36 + 12 - 48 = 0$.

Для $z = -8$: $(-8)^2 + 2(-8) - 48 = 64 - 16 - 48 = 0$.

Оба корня найдены верно.

Ответ: $z_1 = 6$, $z_2 = -8$.

583. В уравнении x² + px – 35 = 0 один из корней равен 7. Найдите другой корень и коэффициент р.

$$\begin{gathered} x^2+px-35=0, x_1=7 \\ {x}_1·x_2=-35; \\ 7·x_2=-35; \\ {x}_2=-5 \\ -p=x_1+x_2=7+(-5)=2 \\ p=-2 \\ \text{Ответ:} -5; p=-2 \end{gathered}$$

Дано квадратное уравнение $x^2 + px - 35 = 0$. По условию, один из его корней, назовём его $x_1$, равен 7. Необходимо найти второй корень, $x_2$, и коэффициент $p$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведённого квадратного уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие равенства:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c$

В нашем уравнении $x^2 + px - 35 = 0$ коэффициенты $b=p$ и $c=-35$.

Нахождение другого корня

Применим формулу для произведения корней: $x_1 \cdot x_2 = c$.
Подставим известные значения $x_1 = 7$ и $c = -35$:
$7 \cdot x_2 = -35$
Теперь найдём $x_2$, разделив обе части равенства на 7:
$x_2 = \frac{-35}{7}$
$x_2 = -5$

Ответ: другой корень равен -5.

Нахождение коэффициента p

Теперь, зная оба корня, применим формулу для их суммы: $x_1 + x_2 = -p$.
Подставим значения $x_1 = 7$ и $x_2 = -5$:
$7 + (-5) = -p$
$2 = -p$
Отсюда находим значение $p$:
$p = -2$

Ответ: коэффициент p равен -2.

584. Один из корней уравнения x² – 13х + q = 0 равен 12,5. Найдите другой корень и коэффициент q.

$$\begin{gathered} x^2-13x+q=0, x_1=12,5 \\ {x}_1+x_2=13; \\ 12,5+x_2=13; \\ {x}_2=0,5 \\ q=x_1·x_2=12,5·0,5=6,25 \\ \text{Ответ:} 0,5; q=6,25 \end{gathered}$$

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:
1) Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
2) Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c$

В нашем уравнении $x^2 - 13x + q = 0$ коэффициенты равны: $p = -13$ и $c = q$. По условию, один из корней равен 12,5. Обозначим его как $x_1 = 12,5$.

Нахождение другого корня

Согласно теореме Виета, сумма корней равна коэффициенту при $x$ с противоположным знаком:
$x_1 + x_2 = -(-13) = 13$
Подставим известное значение корня $x_1 = 12,5$ в это равенство:
$12,5 + x_2 = 13$
Отсюда находим второй корень $x_2$:
$x_2 = 13 - 12,5$
$x_2 = 0,5$
Ответ: другой корень равен 0,5.

Нахождение коэффициента q

Согласно теореме Виета, произведение корней равно свободному члену $q$:
$x_1 \cdot x_2 = q$
Мы уже нашли оба корня: $x_1 = 12,5$ и $x_2 = 0,5$. Подставим их значения в формулу, чтобы найти $q$:
$q = 12,5 \cdot 0,5$
$q = 6,25$
Ответ: коэффициент $q$ равен 6,25.

585. Один из корней уравнения 5x² + bx + 24 = 0 равен 8. Найдите другой корень и коэффициент b.

$$\begin{gathered} 5x^2+bx+24=0, x_1=8 \\ {x}^2+\frac{b}{5}x+\frac{24}{5}=0 \\ {x}_1·x_2=\frac{24}{5}; 8·x_2=\frac{24}{5}; x_2=\frac{24}{5}:8; x_2=\frac{24}{5·8} \\ {x}_2=\frac{3}{5}; x_2=0,6 \\ {x}_1+x_2=-\frac{b}{5}; 8+0,6=-\frac{b}{5}; 8,6=-\frac{b}{5} \\ b=-5·8,6=-43 \end{gathered}$$

Ответ: 0,6; b=-43

Дано квадратное уравнение $5x^2 + bx + 24 = 0$ и один из его корней $x_1 = 8$. Необходимо найти второй корень $x_2$ и коэффициент $b$. Для решения задачи удобнее всего воспользоваться теоремой Виета.

Для общего вида квадратного уравнения $ax^2 + Bx + C = 0$ теорема Виета устанавливает связь между корнями ($x_1$, $x_2$) и коэффициентами:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{B}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{a}$

В нашем уравнении коэффициенты равны: $a=5$, $B=b$ (неизвестный коэффициент) и $C=24$.

Чтобы найти второй корень $x_2$, воспользуемся формулой для произведения корней, так как она не содержит неизвестный нам коэффициент $b$.

$x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{a}$

Подставим известные значения $x_1 = 8$, $a = 5$ и $C = 24$ в формулу:

$8 \cdot x_2 = \frac{24}{5}$

Теперь решим это уравнение относительно $x_2$:

$x_2 = \frac{24}{5 \cdot 8} = \frac{3}{5} = 0.6$

Ответ: другой корень равен 0.6.

Теперь, зная оба корня ($x_1 = 8$ и $x_2 = 0.6$), мы можем найти коэффициент $b$ с помощью формулы для суммы корней.

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Подставим известные значения корней и коэффициента $a$:

$8 + 0.6 = -\frac{b}{5}$

$8.6 = -\frac{b}{5}$

Выразим $b$ из этого уравнения:

$b = -8.6 \cdot 5$

$b = -43$

Ответ: коэффициент $b$ равен -43.

586. Один из корней уравнения 10x² – 33x + c = 0 равен 5,3. Найдите другой корень и коэффициент с.

$$\begin{gathered} 10x^2-33x+c=0, x_1=5,3 \\ {x}^2-3,3x+\frac{c}{10}=0 \\ {x}_1+x_2=3,3; \\ 5,3+x_2=3,3; \\ {x}_2=-2 \\ {x}_1·x_2=\frac{c}{10}; \\ 5,3·(-2)=\frac{c}{10}; \\ -10,6=\frac{c}{10}; \\ c=-106 \end{gathered}$$

Ответ: -2; с=-106

Дано квадратное уравнение $10x^2 - 33x + c = 0$. В этом уравнении коэффициенты равны $a=10$, $b=-33$. Один из корней, обозначим его $x_1$, равен $5,3$. Для нахождения второго корня ($x_2$) и коэффициента $c$ воспользуемся теоремой Виета.

Согласно теореме Виета для квадратного уравнения вида $ax^2+bx+c=0$ сумма и произведение корней связаны с коэффициентами следующими соотношениями:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Нахождение другого корня
Используем формулу для суммы корней, подставив в неё известные значения $a=10$ и $b=-33$:
$x_1 + x_2 = -\frac{-33}{10} = 3,3$
Теперь подставим известный корень $x_1 = 5,3$ в полученное равенство и найдем $x_2$:
$5,3 + x_2 = 3,3$
$x_2 = 3,3 - 5,3$
$x_2 = -2$
Ответ: другой корень уравнения равен -2.

Нахождение коэффициента c
Используем формулу для произведения корней. Подставим в неё известные значения $a=10$, $x_1 = 5,3$ и найденный ранее корень $x_2 = -2$:
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
$5,3 \cdot (-2) = \frac{c}{10}$
$-10,6 = \frac{c}{10}$
Отсюда выразим и найдем $c$:
$c = -10,6 \cdot 10$
$c = -106$
Ответ: коэффициент $c$ равен -106.

587. Разность корней квадратного уравнения x² – 12x + q = 0 равна 2. Найдите q.

$$\begin{gathered} x^2-12x+q=0 \\ \left\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2=2\\ x_1+x_2=12\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x_1=14\\ x_1+x_2=12\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x}_1=7\\ 7+x_2=12\end{array}\left\{\begin{array}{l}{x}_1=7\\ x_2=5\end{array}\right.\right. \\ q=7·5=35 \end{gathered}$$

Ответ: 35

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни заданного квадратного уравнения $x^2 - 12x + q = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения. Согласно этой теореме, сумма и произведение корней связаны с коэффициентами уравнения следующим образом:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-12) = 12$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

По условию задачи, разность корней равна 2. Пусть $x_1$ будет большим корнем, а $x_2$ — меньшим. Тогда их разность можно записать как: $x_1 - x_2 = 2$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, $x_1$ и $x_2$: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 12 \\ x_1 - x_2 = 2 \end{cases} $$

Для решения системы сложим первое и второе уравнения: $(x_1 + x_2) + (x_1 - x_2) = 12 + 2$
$2x_1 = 14$
$x_1 = \frac{14}{2} = 7$

Теперь, зная $x_1$, найдем $x_2$, подставив значение $x_1$ в первое уравнение системы: $7 + x_2 = 12$
$x_2 = 12 - 7 = 5$

Мы нашли корни уравнения: 7 и 5. Теперь, чтобы найти значение $q$, используем второе соотношение из теоремы Виета, которое связывает произведение корней с коэффициентом $q$: $q = x_1 \cdot x_2$
Подставим найденные значения корней: $q = 7 \cdot 5 = 35$

Ответ: 35

588. Разность корней квадратного уравнения x² + x + c = 0 равна 6. Найдите с.

$x^2+x+c=0$

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2=6\\ x_1+x_2=-1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x_1=5\\ x_1+x_2=-1\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}{x}_1=2,5\\ 2,5+x_2=-1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x}_1=2,5\\ x_2=-3,5\end{array}\right.$

$c=x_1·x_2=2,5·(-3,5)=-8,75$

Ответ: -8,75

Дано квадратное уравнение $x^2 + x + c = 0$. Пусть его корни – это $x_1$ и $x_2$.

Для решения этой задачи удобно использовать теорему Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма и произведение корней связаны с коэффициентами следующими формулами:
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем случае, для уравнения $x^2 + x + c = 0$, коэффициенты равны $p=1$ и $q=c$. Следовательно:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -1$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c$.

По условию задачи, разность корней равна 6. Запишем это математически: $|x_1 - x_2| = 6$.

Чтобы связать это условие с теоремой Виета, возведем обе части равенства в квадрат:
$(x_1 - x_2)^2 = 6^2 = 36$.

Теперь воспользуемся алгебраическим тождеством, которое связывает квадрат разности двух чисел с их суммой и произведением:
$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$.

Подставим в это тождество известные нам значения: $(x_1 - x_2)^2 = 36$, $x_1 + x_2 = -1$ и $x_1 \cdot x_2 = c$.
$36 = (-1)^2 - 4c$.

Осталось решить полученное линейное уравнение относительно $c$:
$36 = 1 - 4c$
$4c = 1 - 36$
$4c = -35$
$c = -\frac{35}{4}$
$c = -8.75$.

Ответ: $c = -8.75$.

589. Разность квадратов корней уравнения x² + 2x + q = 0 равна 12. Найдите q.

$$\begin{gathered} x^2+2x+q=0 \\ {x_1}^2-{x_2}^2=12 \end{gathered}$$

$\left\{\begin{array}{l}(x_1-x_2)(x_1+x_2)=12\\ x_1+x_2=-2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}(x_1-x_2)·(-2)=12\\ x_1+x_2=-2\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2=-6\\ x_1+x_2=-2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x_1=-8\\ x_1+x_2=-2\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}{x}_1=-4\\ -4+x_2=-2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x}_1=-4\\ x_2=2\end{array}\right.$

$q=x_1·x_2=-4·2=-8$

Ответ: -8

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни заданного квадратного уравнения $x^2 + 2x + q = 0$.

По условию задачи, разность квадратов корней равна 12. Запишем это в виде уравнения:

$x_1^2 - x_2^2 = 12$

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Согласно теореме, сумма корней равна $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = q$.

В нашем случае коэффициенты равны $p=2$ и $q=q$. Следовательно:

$x_1 + x_2 = -2$

$x_1 \cdot x_2 = q$

Теперь преобразуем данное в условии равенство, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x_1^2 - x_2^2 = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 12$

Мы знаем, что $x_1 + x_2 = -2$. Подставим это значение в преобразованное уравнение:

$(x_1 - x_2) \cdot (-2) = 12$

Отсюда найдем разность корней:

$x_1 - x_2 = \frac{12}{-2} = -6$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $x_1$ и $x_2$:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -2 \\ x_1 - x_2 = -6 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $x_1$:

$(x_1 + x_2) + (x_1 - x_2) = -2 + (-6)$

$2x_1 = -8$

$x_1 = -4$

Подставим найденное значение $x_1$ в первое уравнение системы, чтобы найти $x_2$:

$-4 + x_2 = -2$

$x_2 = -2 + 4$

$x_2 = 2$

Итак, корнями уравнения являются числа -4 и 2. Теперь, используя вторую формулу из теоремы Виета, мы можем найти значение $q$:

$q = x_1 \cdot x_2 = (-4) \cdot 2 = -8$

Проверим условие наличия действительных корней. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot q = 4 - 4q$. Подставив найденное значение $q$, получаем $D = 4 - 4(-8) = 4 + 32 = 36$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, что соответствует нашему решению.

Ответ: $q = -8$

590. Известно, что сумма квадратов корней уравнения x² – 3x + a = 0 равна 65. Найдите a.

$$\begin{gathered} x^2-3x+a=0 \\ {x_1}^2+{x_2}^2=65 \\ {x_1}^2+2x_1{x}_2+{x_2}^2-2x_1{x}_2=65 \end{gathered}$$

$\left\{\begin{array}{l}{(x_1+x_2)}^2-2x_1{x}_2=65\\ x_1+x_2=3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{3}^2-2x_1{x}_2=65\\ x_1+x_2=3\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}2x_1{x}_2=9-65\\ x_1+x_2=3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x_1{x}_2=-56\\ x_1=3-x_2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x}_1{x}_2=-28\\ x_1=3-x_2\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}(3-x_2)x_2=-28\\ x_1=3-x_2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}3x_2-{x_2}^2+28=0\\ x_1=3-x_2\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} -{x_2}^2+3x_2+28=0 \\ D=3^2-4·(-1)·28=9+112=121 \\ {x}_2=\frac{-3\pm \sqrt{121}}{-2}; x_2=\frac{-3\pm 11}{-2} \\ {x}_2=-4; x_2=7 \end{gathered}$$

Если x₂=-4, то x₁=3-(-4)=3+4=7

Если x₂=7, то x₁=3-7=-4

$a=x_1·x_2=-4·7=7·(-4)=-28$

Ответ: -28

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета. Дано квадратное уравнение вида $x^2 - 3x + a = 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — его корни.

Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения ($x^2 + px + q = 0$):

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем уравнении $x^2 - 3x + a = 0$ коэффициенты равны $p = -3$ и $q = a$. Применив теорему Виета, получаем:

$x_1 + x_2 = -(-3) = 3$
$x_1 \cdot x_2 = a$

По условию задачи, сумма квадратов корней равна 65:

$x_1^2 + x_2^2 = 65$

Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение. Для этого используем известную формулу, вытекающую из квадрата суммы:

$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$

Отсюда:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Теперь подставим в это выражение значения суммы и произведения корней, которые мы нашли по теореме Виета, а также значение суммы квадратов из условия задачи:

$65 = (3)^2 - 2 \cdot a$

Получили линейное уравнение относительно $a$. Решим его:

$65 = 9 - 2a$
$2a = 9 - 65$
$2a = -56$
$a = \frac{-56}{2}$
$a = -28$

Чтобы убедиться в корректности решения, проверим, имеет ли уравнение корни при найденном значении $a$. Для этого вычислим дискриминант $D$ уравнения $x^2 - 3x - 28 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121$

Так как $D = 121 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, следовательно, условие задачи выполнимо.

Ответ: $a = -28$.