Страница 128 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

554. Найдите значение выражения:

$$\begin{gathered} \frac{a-{\displaystyle \frac{2a-1}{a}}}{{\displaystyle \frac{1-a}{3a}}}=\frac{{\displaystyle \frac{a^2-(2a-1)}{a}}}{{\displaystyle \frac{1-a}{3a}}}=\frac{a^2-2a+1}{a}:\frac{1-a}{3a}= \\ =\frac{{(a-1)}^2}{a}·\frac{3a}{1-a}=\frac{{(1-a)}^2·3}{1-a}=(1-a)·3=3-3a \end{gathered}$$

при a=-1,5; 3-3*(-1,5)=3+4,5=7,5

Для нахождения значения выражения, сначала упростим его.

Исходное выражение: $$ \frac{a - \frac{2a - 1}{a}}{\frac{1 - a}{3a}} $$ Сначала преобразуем числитель основной дроби, приведя его к общему знаменателю: $$ a - \frac{2a - 1}{a} = \frac{a \cdot a}{a} - \frac{2a - 1}{a} = \frac{a^2 - (2a - 1)}{a} = \frac{a^2 - 2a + 1}{a} $$ В числителе получилась формула квадрата разности: $a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$. Таким образом, числитель равен: $$ \frac{(a-1)^2}{a} $$ Теперь подставим это обратно в исходное выражение: $$ \frac{\frac{(a-1)^2}{a}}{\frac{1 - a}{3a}} $$ Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую: $$ \frac{(a-1)^2}{a} \cdot \frac{3a}{1-a} $$ Заметим, что $(a-1)^2 = (-(1-a))^2 = (1-a)^2$. Заменим это в выражении для удобства сокращения: $$ \frac{(1-a)^2}{a} \cdot \frac{3a}{1-a} $$ Сократим $a$ в числителе и знаменателе (это возможно, так как $a = -1,5 \neq 0$): $$ (1-a)^2 \cdot \frac{3}{1-a} $$ Сократим на $(1-a)$ (это возможно, так как $a = -1,5 \neq 1$): $$ (1-a) \cdot 3 = 3(1-a) $$ Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него значение $a = -1,5$: $$ 3(1 - (-1,5)) = 3(1 + 1,5) = 3(2,5) = 7,5 $$

Ответ: 7,5.

555. Упростите выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}(\sqrt{21}+\sqrt{14}-2\sqrt{35})·\frac{\sqrt{7}}{7}+\sqrt{20}= \\ =(\sqrt{3·7}+\sqrt{2·7}-2\sqrt{5·7})·\frac{\sqrt{7}}{7}+\sqrt{4·5}= \\ =\sqrt{7}(\sqrt{3}+\sqrt{2}-2\sqrt{5})·\frac{\sqrt{7}}{7}+2\sqrt{5}= \\ =\sqrt{3}+\sqrt{2}-2\sqrt{5}+2\sqrt{5}=\sqrt{3}+\sqrt{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}(\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{15})(\sqrt{5}-\sqrt{3})+\sqrt{75}= \\ =5-\cancel{\sqrt{15}}+\cancel{\sqrt{15}}-3-\bcancel{\sqrt{75}}+\sqrt{45}+\bcancel{\sqrt{75}}= \\ =2+\sqrt{9·5}=2+3\sqrt{5} \end{gathered}$$

а) Упростим выражение $(\sqrt{21} + \sqrt{14} - 2\sqrt{35}) \cdot \frac{\sqrt{7}}{7} + \sqrt{20}$.
Сначала преобразуем подкоренные выражения в скобках и слагаемое $\sqrt{20}$:
$\sqrt{21} = \sqrt{3 \cdot 7}$
$\sqrt{14} = \sqrt{2 \cdot 7}$
$\sqrt{35} = \sqrt{5 \cdot 7}$
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$
Подставим эти значения в исходное выражение:
$(\sqrt{3 \cdot 7} + \sqrt{2 \cdot 7} - 2\sqrt{5 \cdot 7}) \cdot \frac{\sqrt{7}}{7} + 2\sqrt{5}$
Вынесем общий множитель $\sqrt{7}$ за скобки:
$(\sqrt{7}(\sqrt{3} + \sqrt{2} - 2\sqrt{5})) \cdot \frac{\sqrt{7}}{7} + 2\sqrt{5}$
Теперь умножим $\sqrt{7}(\sqrt{3} + \sqrt{2} - 2\sqrt{5})$ на $\frac{\sqrt{7}}{7}$:
$\frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}}{7} \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{2} - 2\sqrt{5}) + 2\sqrt{5}$
Так как $\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = 7$, получаем:
$\frac{7}{7} \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{2} - 2\sqrt{5}) + 2\sqrt{5} = 1 \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{2} - 2\sqrt{5}) + 2\sqrt{5}$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$\sqrt{3} + \sqrt{2} - 2\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$
Ответ: $\sqrt{3} + \sqrt{2}$.

б) Упростим выражение $(\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{15})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) + \sqrt{75}$.
Раскроем скобки, умножая выражение $(\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{15})$ на каждый член второй скобки $(\sqrt{5} - \sqrt{3})$:
$(\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{15}) \cdot \sqrt{5} - (\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{15}) \cdot \sqrt{3} + \sqrt{75}$
Выполним умножение для каждой части:
$(\sqrt{5}\cdot\sqrt{5} + \sqrt{3}\cdot\sqrt{5} - \sqrt{15}\cdot\sqrt{5}) - (\sqrt{5}\cdot\sqrt{3} + \sqrt{3}\cdot\sqrt{3} - \sqrt{15}\cdot\sqrt{3}) + \sqrt{75}$
$(5 + \sqrt{15} - \sqrt{75}) - (\sqrt{15} + 3 - \sqrt{45}) + \sqrt{75}$
Раскроем вторые скобки, меняя знаки на противоположные:
$5 + \sqrt{15} - \sqrt{75} - \sqrt{15} - 3 + \sqrt{45} + \sqrt{75}$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(5 - 3) + (\sqrt{15} - \sqrt{15}) + (-\sqrt{75} + \sqrt{75}) + \sqrt{45}$
$2 + 0 + 0 + \sqrt{45} = 2 + \sqrt{45}$
Упростим оставшийся корень $\sqrt{45}$:
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$
Таким образом, окончательное выражение равно:
$2 + 3\sqrt{5}$
Ответ: $2 + 3\sqrt{5}$.

556. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков линейных функций:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} y=7x-1 \\ y=2x \\ 7x-1=2x \\ 5x=1 \\ x=\frac{1}{5}; \\ y=2·\frac{1}{5}=\frac{2}{5} \\ \text{Ответ:} \left(\frac{1}{5}; \frac{2}{5}\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} y=3x-11 \text{и} y=4 \\ 3x-11=4 \\ 3x=15 \\ x=5 \\ \text{Ответ:} (5;4) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} y=5x+8 \text{и} y=3x+2 \\ 5x+8=3x+2 \\ 5x-3x=2-8 \\ 2x=-6 \\ x=-3 \\ y=3·(-3)+2=-9+2=-7 \\ \text{Ответ:} (-3;-7) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} y=4-x \text{и} y=3x \\ 4-x=3x \\ 4x=4 \\ x=1; \\ y=3·1=3 \\ \text{Ответ:} (1;3) \end{gathered}$$

Чтобы найти координаты точки пересечения графиков двух линейных функций, не выполняя построения, необходимо решить систему уравнений, которую они образуют. В точке пересечения значения координат $x$ и $y$ для обеих функций совпадают. Поэтому можно приравнять выражения для $y$ и решить полученное уравнение относительно $x$. Найденное значение $x$ (абсцисса) затем подставляется в любое из исходных уравнений для нахождения значения $y$ (ординаты).

а) Даны функции $y = 7x - 1$ и $y = 2x$.
Приравниваем правые части уравнений: $7x - 1 = 2x$.
Решаем уравнение: $7x - 2x = 1$, откуда $5x = 1$ и $x = \frac{1}{5}$.
Подставляем найденное значение $x$ во второе уравнение: $y = 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$.
Координаты точки пересечения: $(\frac{1}{5}; \frac{2}{5})$.
Ответ: $(\frac{1}{5}; \frac{2}{5})$.

б) Даны функции $y = 3x - 11$ и $y = 4$.
Приравниваем правые части уравнений: $3x - 11 = 4$.
Решаем уравнение: $3x = 4 + 11$, откуда $3x = 15$ и $x = 5$.
Значение $y$ уже известно из второго уравнения: $y = 4$.
Координаты точки пересечения: $(5; 4)$.
Ответ: $(5; 4)$.

в) Даны функции $y = 5x + 8$ и $y = 3x + 2$.
Приравниваем правые части уравнений: $5x + 8 = 3x + 2$.
Решаем уравнение: $5x - 3x = 2 - 8$, откуда $2x = -6$ и $x = -3$.
Подставляем найденное значение $x$ во второе уравнение: $y = 3 \cdot (-3) + 2 = -9 + 2 = -7$.
Координаты точки пересечения: $(-3; -7)$.
Ответ: $(-3; -7)$.

г) Даны функции $y = 4 - x$ и $y = 3x$.
Приравниваем правые части уравнений: $4 - x = 3x$.
Решаем уравнение: $4 = 3x + x$, откуда $4 = 4x$ и $x = 1$.
Подставляем найденное значение $x$ во второе уравнение: $y = 3 \cdot 1 = 3$.
Координаты точки пересечения: $(1; 3)$.
Ответ: $(1; 3)$.