Номер 555, страница 128 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Формула корней квадратного уравнения. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 555, страница 128.

555. Упростите выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}(\sqrt{21}+\sqrt{14}-2\sqrt{35})·\frac{\sqrt{7}}{7}+\sqrt{20}= \\ =(\sqrt{3·7}+\sqrt{2·7}-2\sqrt{5·7})·\frac{\sqrt{7}}{7}+\sqrt{4·5}= \\ =\sqrt{7}(\sqrt{3}+\sqrt{2}-2\sqrt{5})·\frac{\sqrt{7}}{7}+2\sqrt{5}= \\ =\sqrt{3}+\sqrt{2}-2\sqrt{5}+2\sqrt{5}=\sqrt{3}+\sqrt{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}(\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{15})(\sqrt{5}-\sqrt{3})+\sqrt{75}= \\ =5-\cancel{\sqrt{15}}+\cancel{\sqrt{15}}-3-\bcancel{\sqrt{75}}+\sqrt{45}+\bcancel{\sqrt{75}}= \\ =2+\sqrt{9·5}=2+3\sqrt{5} \end{gathered}$$

а) Упростим выражение $(\sqrt{21} + \sqrt{14} - 2\sqrt{35}) \cdot \frac{\sqrt{7}}{7} + \sqrt{20}$.
Сначала преобразуем подкоренные выражения в скобках и слагаемое $\sqrt{20}$:
$\sqrt{21} = \sqrt{3 \cdot 7}$
$\sqrt{14} = \sqrt{2 \cdot 7}$
$\sqrt{35} = \sqrt{5 \cdot 7}$
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$
Подставим эти значения в исходное выражение:
$(\sqrt{3 \cdot 7} + \sqrt{2 \cdot 7} - 2\sqrt{5 \cdot 7}) \cdot \frac{\sqrt{7}}{7} + 2\sqrt{5}$
Вынесем общий множитель $\sqrt{7}$ за скобки:
$(\sqrt{7}(\sqrt{3} + \sqrt{2} - 2\sqrt{5})) \cdot \frac{\sqrt{7}}{7} + 2\sqrt{5}$
Теперь умножим $\sqrt{7}(\sqrt{3} + \sqrt{2} - 2\sqrt{5})$ на $\frac{\sqrt{7}}{7}$:
$\frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}}{7} \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{2} - 2\sqrt{5}) + 2\sqrt{5}$
Так как $\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = 7$, получаем:
$\frac{7}{7} \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{2} - 2\sqrt{5}) + 2\sqrt{5} = 1 \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{2} - 2\sqrt{5}) + 2\sqrt{5}$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$\sqrt{3} + \sqrt{2} - 2\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$
Ответ: $\sqrt{3} + \sqrt{2}$.

б) Упростим выражение $(\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{15})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) + \sqrt{75}$.
Раскроем скобки, умножая выражение $(\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{15})$ на каждый член второй скобки $(\sqrt{5} - \sqrt{3})$:
$(\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{15}) \cdot \sqrt{5} - (\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{15}) \cdot \sqrt{3} + \sqrt{75}$
Выполним умножение для каждой части:
$(\sqrt{5}\cdot\sqrt{5} + \sqrt{3}\cdot\sqrt{5} - \sqrt{15}\cdot\sqrt{5}) - (\sqrt{5}\cdot\sqrt{3} + \sqrt{3}\cdot\sqrt{3} - \sqrt{15}\cdot\sqrt{3}) + \sqrt{75}$
$(5 + \sqrt{15} - \sqrt{75}) - (\sqrt{15} + 3 - \sqrt{45}) + \sqrt{75}$
Раскроем вторые скобки, меняя знаки на противоположные:
$5 + \sqrt{15} - \sqrt{75} - \sqrt{15} - 3 + \sqrt{45} + \sqrt{75}$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(5 - 3) + (\sqrt{15} - \sqrt{15}) + (-\sqrt{75} + \sqrt{75}) + \sqrt{45}$
$2 + 0 + 0 + \sqrt{45} = 2 + \sqrt{45}$
Упростим оставшийся корень $\sqrt{45}$:
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$
Таким образом, окончательное выражение равно:
$2 + 3\sqrt{5}$
Ответ: $2 + 3\sqrt{5}$.