Номер 560, страница 130 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Решение задач. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 560, страница 130.

560. Периметр прямоугольника равен 62 м. Найдите его стороны, если площадь прямоугольника равна 210 м².

Пусть x(м) - одна сторона прямоугольника, тогда $\frac{62-2x}{2}=31-x\left(\text{м}\right)$ - вторая сторона прямоугольника. Зная, что площадь прямоугольника равна 210м², составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} x(31-x)=210 \\ 31x-x^2-210=0 \\ -x^2+31x-210=0 \\ D={31}^2-4·(-1)·(-210)=961-840=121 \\ x=\frac{-31\pm \sqrt{121}}{-2}, x=\frac{-31\pm 11}{-2} \\ x=10 \text{или} x=21 \end{gathered}$$

если x=10 м, то 31-10=21(м)

если x=21 м, то 31-21=10(м)

Ответ: 10м и 21м

Обозначим стороны прямоугольника как $a$ и $b$.

Периметр прямоугольника $P$ находится по формуле $P = 2(a + b)$, а его площадь $S$ по формуле $S = a \cdot b$.

Согласно условиям задачи, у нас есть система из двух уравнений:

$ \begin{cases} 2(a + b) = 62 \\ a \cdot b = 210 \end{cases} $

Сначала упростим первое уравнение, разделив обе его части на 2:

$a + b = 31$

Теперь наша система выглядит так:

$ \begin{cases} a + b = 31 \\ a \cdot b = 210 \end{cases} $

Выразим одну переменную через другую из первого уравнения. Например, выразим $a$:

$a = 31 - b$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(31 - b) \cdot b = 210$

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение:

$31b - b^2 = 210$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид $ax^2 + bx + c = 0$:

$b^2 - 31b + 210 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-31)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 210 = 961 - 840 = 121$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:

$b_1 = \frac{-(-31) - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{31 - 11}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$b_2 = \frac{-(-31) + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{31 + 11}{2} = \frac{42}{2} = 21$

Мы получили два значения для одной из сторон прямоугольника. Теперь найдем вторую сторону для каждого случая, используя выражение $a = 31 - b$:

Если $b_1 = 10$ м, то $a_1 = 31 - 10 = 21$ м.

Если $b_2 = 21$ м, то $a_2 = 31 - 21 = 10$ м.

В обоих случаях получаем, что стороны прямоугольника равны 10 м и 21 м.

Ответ: стороны прямоугольника равны 10 м и 21 м.