Страница 130 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

559. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона которого на 10 м больше другой, требуется обнести изгородью. Определите длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 1200 м².

Пусть x(м) - одна сторона прямоугольного участка, тогда (x+100)м - другая сторона. Зная, что площадь участка равна 1200м², составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} x(x+10)=1200 \\ {x}^2+10x-1200=0 \\ D={10}^2-4·1·(-1200)=100+4800=4900 \\ x=\frac{-10\pm \sqrt{4900}}{2}; x=\frac{-10\pm 70}{2} \end{gathered}$$

x=30 или x=-40 - не удовлетворяет условию задачи x>0

2) 30+10=40(м)

3) P=(30+40)*2=140(м)

Ответ: 140м

Для решения задачи введем переменные. Пусть длина одной (меньшей) стороны прямоугольного участка равна $x$ метров. Тогда, согласно условию, длина другой стороны будет на 10 метров больше, то есть $(x + 10)$ метров.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение его смежных сторон. По условию, площадь участка равна 1200 м?. Составим и решим уравнение:

$S = x \cdot (x + 10)$

$1200 = x^2 + 10x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 10x - 1200 = 0$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант ($D$) по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1200) = 100 + 4800 = 4900$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-10 + \sqrt{4900}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 70}{2} = \frac{60}{2} = 30$

$x_2 = \frac{-10 - \sqrt{4900}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 70}{2} = \frac{-80}{2} = -40$

Так как длина стороны не может быть отрицательным числом, корень $x_2 = -40$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, длина меньшей стороны участка равна 30 м.

Теперь найдем длину большей стороны:

$x + 10 = 30 + 10 = 40$ м.

Итак, стороны участка равны 30 м и 40 м.

Длина изгороди равна периметру прямоугольного участка. Периметр ($P$) вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — длины сторон прямоугольника.

$P = 2 \cdot (30 + 40) = 2 \cdot 70 = 140$ м.

Ответ: 140 м.

560. Периметр прямоугольника равен 62 м. Найдите его стороны, если площадь прямоугольника равна 210 м².

Пусть x(м) - одна сторона прямоугольника, тогда $\frac{62-2x}{2}=31-x\left(\text{м}\right)$ - вторая сторона прямоугольника. Зная, что площадь прямоугольника равна 210м², составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} x(31-x)=210 \\ 31x-x^2-210=0 \\ -x^2+31x-210=0 \\ D={31}^2-4·(-1)·(-210)=961-840=121 \\ x=\frac{-31\pm \sqrt{121}}{-2}, x=\frac{-31\pm 11}{-2} \\ x=10 \text{или} x=21 \end{gathered}$$

если x=10 м, то 31-10=21(м)

если x=21 м, то 31-21=10(м)

Ответ: 10м и 21м

Обозначим стороны прямоугольника как $a$ и $b$.

Периметр прямоугольника $P$ находится по формуле $P = 2(a + b)$, а его площадь $S$ по формуле $S = a \cdot b$.

Согласно условиям задачи, у нас есть система из двух уравнений:

$ \begin{cases} 2(a + b) = 62 \\ a \cdot b = 210 \end{cases} $

Сначала упростим первое уравнение, разделив обе его части на 2:

$a + b = 31$

Теперь наша система выглядит так:

$ \begin{cases} a + b = 31 \\ a \cdot b = 210 \end{cases} $

Выразим одну переменную через другую из первого уравнения. Например, выразим $a$:

$a = 31 - b$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(31 - b) \cdot b = 210$

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение:

$31b - b^2 = 210$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид $ax^2 + bx + c = 0$:

$b^2 - 31b + 210 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-31)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 210 = 961 - 840 = 121$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:

$b_1 = \frac{-(-31) - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{31 - 11}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$b_2 = \frac{-(-31) + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{31 + 11}{2} = \frac{42}{2} = 21$

Мы получили два значения для одной из сторон прямоугольника. Теперь найдем вторую сторону для каждого случая, используя выражение $a = 31 - b$:

Если $b_1 = 10$ м, то $a_1 = 31 - 10 = 21$ м.

Если $b_2 = 21$ м, то $a_2 = 31 - 21 = 10$ м.

В обоих случаях получаем, что стороны прямоугольника равны 10 м и 21 м.

Ответ: стороны прямоугольника равны 10 м и 21 м.

561. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что их сумма равна 23 см, а площадь данного треугольника равна 60 см².

Пусть x(см) - один катет прямоугольного треугольника, тогда (23-x)см - второй катет прямоугольного треугольника. Зная, что площадь треугольника равна 60см², составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}x(23-x)=60 \\ x(23-x)=120 \\ 23x-x^2-120=0 \\ -x^2+23x-120=0 \\ D={23}^2-4·(-1)·(-120)=529-480=49 \\ x=\frac{-23\pm \sqrt{49}}{-2}; x=\frac{-23\pm 7}{-2} \\ x=8 \text{или} x=15 \end{gathered}$$

если x=8 см, то 23-8=15(см)

если x=15 см, то 23-15=8(см)

Ответ: 8см и 15см

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$.

По условию задачи, сумма длин катетов равна 23 см. Это можно записать в виде первого уравнения:
$a + b = 23$

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$. По условию, площадь равна 60 см². Отсюда получаем второе уравнение:
$\frac{1}{2}ab = 60$

Из второго уравнения выразим произведение катетов:
$ab = 60 \cdot 2 = 120$

В результате мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} a + b = 23 \\ ab = 120 \end{cases}$

Согласно теореме, обратной теореме Виета, если числа $a$ и $b$ удовлетворяют таким соотношениям, то они являются корнями квадратного уравнения вида $x^2 - (a+b)x + ab = 0$.

Подставим известные нам значения суммы и произведения в это уравнение:
$x^2 - 23x + 120 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 529 - 480 = 49$
$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$

Найдем корни уравнения, которые и будут являться длинами наших катетов:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 + 7}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 - 7}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Таким образом, длины катетов прямоугольного треугольника равны 8 см и 15 см.

Проведем проверку:
Сумма катетов: $8 + 15 = 23$ см.
Площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 4 \cdot 15 = 60$ см².
Оба условия задачи выполнены.

Ответ: катеты равны 8 см и 15 см.

562. Произведение двух последовательных натуральных чисел больше их суммы на 109. Найдите эти числа.

Пусть n и n+1 - два последовательных натуральных числа. Зная, что произведение этих чисел больше их суммы на 109, составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} n(n+1)=n+n+1+109 \\ {n}^2+n-2n-110=0 \\ {n}^2-n-110=0 \\ D={(-1)}^2-4·(-110)=1+440=441 \\ n=\frac{1\pm \sqrt{441}}{2}; n=\frac{1\pm 21}{2} \\ n=11 \text{или} n=-10\notin N \end{gathered}$$

2) 11+1=12

Ответ: 11 и 12

Пусть первое натуральное число равно $n$. Тогда следующее за ним последовательное натуральное число равно $n + 1$. По условию, $n$ является натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$).

Произведение этих двух чисел равно $n(n + 1)$.

Их сумма равна $n + (n + 1) = 2n + 1$.

Согласно условию задачи, произведение на 109 больше суммы. Это можно записать в виде уравнения:
$n(n + 1) = (2n + 1) + 109$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки и упростим выражение:
$n^2 + n = 2n + 110$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$n^2 + n - 2n - 110 = 0$
$n^2 - n - 110 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения вида $an^2 + bn + c = 0$ (где $a=1$, $b=-1$, $c=-110$) найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 1 + 440 = 441$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$n_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{441}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 21}{2} = \frac{22}{2} = 11$
$n_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{441}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 21}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

По условию задачи, мы ищем натуральные числа, а число $-10$ не является натуральным. Следовательно, нам подходит только корень $n_1 = 11$.

Итак, первое число равно 11. Второе последовательное число равно $n + 1 = 11 + 1 = 12$.

Выполним проверку:
Произведение чисел: $11 \cdot 12 = 132$.
Сумма чисел: $11 + 12 = 23$.
Разница между произведением и суммой: $132 - 23 = 109$.
Условие выполнено.

Ответ: 11 и 12.

563. Площадь доски прямоугольной формы равна 4500 см². Доску распилили на две части, одна из которых представляет собой квадрат, а другая — прямоугольник. Найдите сторону получившегося квадрата, если длина отпиленного прямоугольника равна 120 см.

Пусть x(см) - сторона квадрата, тогда стороны исходного прямоугольника (x+120)см и x(см). Зная, что площадь прямоугольника равна 4500см², составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} (x+120)x=4500 \\ {x}^2+120x-4500=0 \\ D={120}^2-4·1·(-4500)=14400+18000=32400 \\ x=\frac{-120\pm \sqrt{32400}}{2}; x=\frac{-120\pm 180}{2} \end{gathered}$$

x=30 или x=-150 - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 30см

Обозначим искомую сторону квадрата через $x$ (в сантиметрах). После распиливания исходной прямоугольной доски получились две части: квадрат со стороной $x$ и прямоугольник. Из условий задачи следует, что ширина этого прямоугольника равна стороне квадрата $x$, а его длина составляет 120 см. Следовательно, исходная доска имела размеры $x$ см и $(x + 120)$ см.

Площадь исходной доски, равная 4500 см?, является произведением ее сторон. Составим уравнение:

$x(x + 120) = 4500$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 + 120x - 4500 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант ($D$):

$D = 120^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4500) = 14400 + 18000 = 32400$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-120 + \sqrt{32400}}{2} = \frac{-120 + 180}{2} = \frac{60}{2} = 30$

$x_2 = \frac{-120 - \sqrt{32400}}{2} = \frac{-120 - 180}{2} = \frac{-300}{2} = -150$

Поскольку длина стороны квадрата не может быть отрицательным числом, корень $x_2 = -150$ не удовлетворяет условию задачи. Таким образом, единственным решением является $x = 30$.

Ответ: 30 см.

564. От прямоугольного листа картона длиной 26 см отрезали с двух сторон квадраты, сторона каждого из которых равна ширине листа. Площадь оставшейся части равна 80 см². Найдите ширину листа картона. Покажите, что задача имеет два решения, и для каждого случая сделайте чертёж (в масштабе 1 : 2).

Пусть x см - длина стороны квадрата и одновременно ширина прямоугольного листа картона, тогда (26-2x)см - длина оставшейся части. Зная, что площадь оставшейся части равна 80см², составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} (26-2x)x=80 \\ 26x-2x^2-80=0 \\ -2x^2+26x-80=0 /:(-2) \\ {x}^2-13x+40=0 \\ D={(-13)}^2-4·1·40=169-160=9 \\ x=\frac{13\pm \sqrt{9}}{2}; x=\frac{13\pm 3}{2} \end{gathered}$$

x=8 или x=5

Ответ: 8см или 5см

Обозначим ширину прямоугольного листа картона через $w$ в сантиметрах. По условию, длина листа равна 26 см. Площадь исходного листа картона составляет $S_{исх} = 26w$ $см^2$.

С двух сторон от листа отрезали квадраты, сторона каждого из которых равна ширине листа, то есть $w$. Площадь одного такого квадрата равна $S_{кв} = w^2$ $см^2$. Поскольку отрезали два квадрата, их общая площадь составляет $2S_{кв} = 2w^2$ $см^2$.

Площадь оставшейся части листа равна разности площади исходного листа и общей площади вырезанных квадратов. По условию, эта площадь равна 80 $см^2$. Составим уравнение: $S_{исх} - 2S_{кв} = 80$ $26w - 2w^2 = 80$

Перенесем все члены уравнения в одну часть и приведем его к стандартному виду, разделив на -2: $2w^2 - 26w + 80 = 0$ $w^2 - 13w + 40 = 0$

Это квадратное уравнение. Чтобы показать, что задача имеет два решения, найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 169 - 160 = 9$. Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, а значит, задача имеет два решения.

Найдем эти решения (корни уравнения): $w_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{13 \pm 3}{2}$. Первый корень: $w_1 = \frac{13 - 3}{2} = 5$. Второй корень: $w_2 = \frac{13 + 3}{2} = 8$.

Оба корня положительные. Проверим, являются ли они физически возможными. Длина вырезаемой части с двух сторон ($2w$) должна быть меньше длины листа (26 см). Для $w_1 = 5$: $2 \cdot 5 = 10 < 26$. Решение возможно. Для $w_2 = 8$: $2 \cdot 8 = 16 < 26$. Решение также возможно.

Рассмотрим каждый из двух случаев, как требуется в условии.

Случай 1

Ширина листа картона равна 5 см. Проверим: площадь оставшейся части равна $26 \cdot 5 - 2 \cdot 5^2 = 130 - 2 \cdot 25 = 130 - 50 = 80$ $см^2$. Это соответствует условию.

Ниже представлен чертёж для этого случая в масштабе 1:2. Размеры на чертеже в два раза меньше реальных. Реальные размеры указаны на выносных линиях. Оставшаяся часть закрашена, вырезанные квадраты показаны пунктиром.

Ответ: ширина листа картона 5 см.

Случай 2

Ширина листа картона равна 8 см. Проверим: площадь оставшейся части равна $26 \cdot 8 - 2 \cdot 8^2 = 208 - 2 \cdot 64 = 208 - 128 = 80$ $см^2$. Это соответствует условию.

Ниже представлен чертёж для этого случая в масштабе 1:2.

Ответ: ширина листа картона 8 см.

565. В прямоугольном треугольнике один из катетов на 3 см меньше гипотенузы, а другой на 6 см меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу.

Пусть x см - длина гипотенузы, тогда (x-3)см - один катет, a(x-6)см - второй катет прямоугольного треугольника используя теорему Пифагора, составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} {(x-3)}^2+{(x-6)}^2= \\ =x^2 x^2-6x+9+x^2-12x+36-x^2=0 \\ {x}^2-18x+45=0 \\ D={(-18)}^2-4·1·45=324-180=144 \\ x=\frac{18\pm \sqrt{144}}{2}; x=\frac{18\pm 12}{2} \end{gathered}$$

x=15 или x=3 - не удовлетворяет условию задачи x-6>0, x>6

Ответ: 15см

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Пифагора. Обозначим длину гипотенузы как $c$.

Согласно условию, один из катетов на 3 см меньше гипотенузы, то есть его длина равна $(c - 3)$ см. Обозначим его как $a$.
$a = c - 3$

Другой катет на 6 см меньше гипотенузы, следовательно, его длина равна $(c - 6)$ см. Обозначим его как $b$.
$b = c - 6$

Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы:
$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим в это уравнение выражения для $a$ и $b$:
$(c - 3)^2 + (c - 6)^2 = c^2$

Теперь решим полученное уравнение. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$(c^2 - 6c + 9) + (c^2 - 12c + 36) = c^2$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$2c^2 - 18c + 45 = c^2$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2c^2 - c^2 - 18c + 45 = 0$
$c^2 - 18c + 45 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, например, с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 = 324 - 180 = 144$
$c_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{18 \pm 12}{2}$

Получаем два возможных значения для $c$:
$c_1 = \frac{18 + 12}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$c_2 = \frac{18 - 12}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Теперь нужно проверить, какой из корней подходит по условию задачи. Длина стороны треугольника должна быть положительным числом.

1. Если $c = 3$, то длина второго катета $b = c - 6 = 3 - 6 = -3$ см. Длина не может быть отрицательной, поэтому этот корень не является решением задачи.

2. Если $c = 15$, то длины катетов равны $a = 15 - 3 = 12$ см и $b = 15 - 6 = 9$ см. Все длины положительны, такое решение возможно.

Таким образом, единственное подходящее значение для гипотенузы — 15 см.

Ответ: 15 см.

566. В кинотеатре число мест в ряду на 8 больше числа рядов. Сколько рядов в кинотеатре, если всего в нём имеется 884 места?

Пусть x рядов в кинотеатре, тогда x+8 - число мест в ряду. Зная, что всего в кинотеатре 884 места, составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} x(x+8)=884 \\ {x}^2+8x-884=0 \\ D=8^2-4·1·(-884)=64+3536=3600 \\ x=\frac{-8\pm \sqrt{3600}}{2}; x=\frac{-8\pm 60}{2} \end{gathered}$$

x=26 или x=-34 - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 26 рядов

Пусть $x$ — количество рядов в кинотеатре. Согласно условию задачи, число мест в каждом ряду на 8 больше числа рядов, следовательно, количество мест в одном ряду составляет $(x + 8)$.
Общее число мест в кинотеатре равно произведению количества рядов на количество мест в одном ряду. Зная, что всего в кинотеатре 884 места, мы можем составить следующее уравнение:
$x \cdot (x + 8) = 884$
Для решения этого уравнения раскроем скобки и приведем его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + 8x = 884$
$x^2 + 8x - 884 = 0$
Теперь решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-884) = 64 + 3536 = 3600$
Так как дискриминант больше нуля ($D > 0$), уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-8 + \sqrt{3600}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 60}{2} = \frac{52}{2} = 26$
$x_2 = \frac{-8 - \sqrt{3600}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 60}{2} = \frac{-68}{2} = -34$
Поскольку количество рядов ($x$) не может быть отрицательным числом, корень $x_2 = -34$ не является решением задачи. Следовательно, единственно верное решение — $x = 26$.
Таким образом, в кинотеатре 26 рядов.
Проверим полученный результат: если в кинотеатре 26 рядов, то мест в каждом ряду будет $26 + 8 = 34$. Общее количество мест составит $26 \cdot 34 = 884$, что соответствует условию задачи.
Ответ: 26 рядов.

567. Старинная задача. Стая обезьян забавляется. Восьмая часть их в квадрате резвится в лесу. Остальные двенадцать кричат на вершине холма. Скажи мне, сколько всего обезьян?

Пусть x обезьян всего, тогда ${\left(\frac{1}{8}x\right)}^2$ обезьян резвятся в лесу. Зная, что 12 обезьян кричат на вершине холма, составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} {\left(\frac{1}{8}x\right)}^2+12=x \\ \frac{1}{64}{x}^2-x+12=0 /·64 \\ {x}^2-64x+768=0 \\ D={(-64)}^2-4·1·768=4096-3072=1024 \\ x=\frac{64\pm \sqrt{1024}}{2}; x=\frac{64\pm 32}{2} \end{gathered}$$

x=48 или x=16

Ответ: 16 или 48 обезьян

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — общее количество обезьян в стае.

Согласно условию, "восьмая часть их в квадрате резвится в лесу". Математически это можно записать как $(\frac{x}{8})^2$.

Остальные обезьяны, число которых равно 12, "кричат на вершине холма".

Таким образом, общее количество обезьян $x$ равно сумме обезьян в лесу и обезьян на холме. Составим уравнение:

$x = (\frac{x}{8})^2 + 12$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки:

$x = \frac{x^2}{64} + 12$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 64:

$64x = x^2 + 12 \cdot 64$

$64x = x^2 + 768$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 64x + 768 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-64)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 768 = 4096 - 3072 = 1024$

Найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{1024} = 32$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{64 + 32}{2} = \frac{96}{2} = 48$

$x_2 = \frac{64 - 32}{2} = \frac{32}{2} = 16$

Мы получили два возможных ответа. Проверим оба варианта, подставив их в условие задачи.

Проверка для $x = 48$:
Восьмая часть от 48 равна $48 / 8 = 6$.
Эта часть в квадрате: $6^2 = 36$ обезьян резвятся в лесу.
Оставшиеся обезьяны: $48 - 36 = 12$. Это соответствует условию задачи.
Следовательно, этот корень является верным решением.

Проверка для $x = 16$:
Восьмая часть от 16 равна $16 / 8 = 2$.
Эта часть в квадрате: $2^2 = 4$ обезьяны резвятся в лесу.
Оставшиеся обезьяны: $16 - 4 = 12$. Это также соответствует условию задачи.
Следовательно, этот корень тоже является верным решением.

Таким образом, задача имеет два правильных ответа.

Ответ: В стае могло быть 16 или 48 обезьян.

568. Старинная задача. Квадрат пятой части обезьян, уменьшенной на 3, спрятался в гроте. Одна обезьяна, влезшая на дерево, была видна. Сколько было обезьян?

Пусть было x обезьян, тогда ${\left(\frac{1}{5}x-3\right)}^2$ обезьян спряталась в гроте. Зная, что одна обезьяна влезла на дерево, составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} {\left(\frac{1}{5}x-3\right)}^2+1=x \\ \frac{1}{25}{x}^2-\frac{6}{5}x+9+1-x=0 \\ {x}^2-55x+250=0 \\ D={(-55)}^2-4·1·250=3025-1000=2025 \\ x=\frac{55\pm \sqrt{2025}}{2}; x=\frac{55\pm 45}{2} \end{gathered}$$

x=50 или x=5 - не удовлетворяет условию $\frac{1}{5}x-3>0; \frac{1}{5}x>3; x>15$

Ответ: 50 обезьян

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — общее количество обезьян.

Согласно условию, "квадрат пятой части обезьян, уменьшенной на 3, спрятался в гроте". Пятая часть обезьян — это $\frac{x}{5}$. Уменьшенная на 3, эта величина будет равна $\frac{x}{5} - 3$. Квадрат этого выражения — $(\frac{x}{5} - 3)^2$. Это количество обезьян в гроте.

Еще одна обезьяна была видна на дереве. Таким образом, общее число обезьян $x$ складывается из числа обезьян в гроте и обезьяны на дереве.

Составим уравнение на основе этих данных:
$x = (\frac{x}{5} - 3)^2 + 1$

Теперь решим это уравнение. Сначала перенесем 1 в левую часть:
$x - 1 = (\frac{x}{5} - 3)^2$
Раскроем скобки в правой части по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$x - 1 = (\frac{x}{5})^2 - 2 \cdot \frac{x}{5} \cdot 3 + 3^2$
$x - 1 = \frac{x^2}{25} - \frac{6x}{5} + 9$
Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на 25:
$25(x - 1) = 25(\frac{x^2}{25} - \frac{6x}{5} + 9)$
$25x - 25 = x^2 - 30x + 225$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - 30x - 25x + 225 + 25 = 0$
$x^2 - 55x + 250 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-55)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 250 = 3025 - 1000 = 2025$
Корни уравнения находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{55 + \sqrt{2025}}{2 \cdot 1} = \frac{55 + 45}{2} = \frac{100}{2} = 50$
$x_2 = \frac{55 - \sqrt{2025}}{2 \cdot 1} = \frac{55 - 45}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Мы получили два математически верных корня. Теперь нужно проверить, какой из них подходит по смыслу задачи.

1. Если всего было $x = 50$ обезьян.
Пятая часть обезьян: $50 / 5 = 10$.
Уменьшаем на 3: $10 - 3 = 7$. Это число положительное, что соответствует реальному количеству обезьян.
Количество обезьян в гроте: $7^2 = 49$.
Общее количество: $49$ (в гроте) $+ 1$ (на дереве) $= 50$. Это решение подходит.

2. Если всего было $x = 5$ обезьян.
Пятая часть обезьян: $5 / 5 = 1$.
Уменьшаем на 3: $1 - 3 = -2$. Количество обезьян не может быть отрицательным числом. Следовательно, это решение не имеет физического смысла и должно быть отброшено.

Таким образом, единственное подходящее решение — 50 обезьян.
Ответ: 50 обезьян.

569. Число диагоналей p выпуклого многоугольника вычисляется по формуле p =n(n - 3)2 где n — число сторон. В каком выпуклом многоугольнике диагоналей на 25 больше, чем сторон?

Пусть n-число сторон многоугольника, тогда n+25 диагоналей в этом многоугольнике. Зная, что число диагоналей выпуклого многоугольника вычисляется по формуле $p=\frac{n(n-3)}{2},$ составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} \frac{n(n-3)}{2}=n+25 \\ {n}^2-3n=2n+50 \\ {n}^2-3n-2n-50=0 \\ {n}^2-5n-50=0 \\ D={(-5)}^2-4·1·(-50)=25+200=225 \\ n=\frac{5\pm \sqrt{225}}{2}; n=\frac{5\pm 15}{2} \end{gathered}$$

n=10 или n=-5 - не удовлетворяет условию задачи n>0

Ответ: в десятиугольнике

Пусть $n$ — искомое число сторон выпуклого многоугольника. По определению, $n$ должно быть целым числом, большим или равным 3 ($n \ge 3$).

Число диагоналей $p$ такого многоугольника вычисляется по формуле: $p = \frac{n(n-3)}{2}$

Согласно условию задачи, число диагоналей на 25 больше числа сторон. Математически это можно записать как: $p = n + 25$

Чтобы найти $n$, приравняем два выражения для $p$: $\frac{n(n-3)}{2} = n + 25$

Решим полученное уравнение. Сначала умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: $n(n-3) = 2(n + 25)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения: $n^2 - 3n = 2n + 50$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $an^2 + bn + c = 0$: $n^2 - 3n - 2n - 50 = 0$ $n^2 - 5n - 50 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 25 + 200 = 225$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $n_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 15}{2} = \frac{20}{2} = 10$ $n_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 15}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Число сторон многоугольника $n$ не может быть отрицательным, поэтому корень $n_2 = -5$ не является решением задачи.

Таким образом, искомый многоугольник имеет 10 сторон.

Проверим результат: Для многоугольника с 10 сторонами ($n=10$) число диагоналей равно: $p = \frac{10(10-3)}{2} = \frac{10 \cdot 7}{2} = 35$. Число сторон равно 10. Разница между числом диагоналей и числом сторон: $35 - 10 = 25$. Это соответствует условию задачи.

Ответ: в десятиугольнике.