Страница 126 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

540. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 5x^2=9x+2 \\ 5x^2-9x-2=0 \\ D={(-9)}^2-4·5·(-2)=81+40=121>0 \\ x=\frac{9\pm \sqrt{121}}{10}, x=\frac{9\pm 11}{10} \\ x=2 \text{или} x=-0,2 \\ \text{Ответ:} 2; -0,2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} -t^2=5t-14 \\ -t^2-5t+14=0 \\ D={(-5)}^2-4·(-1)·14=25+56=81>0 \\ t=\frac{5\pm \sqrt{81}}{-2}, t=\frac{5\pm 9}{-2} \\ t=-7 \text{или} t=2 \\ \text{Ответ:} -7; 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 6x+9=x^2 \\ {x}^2-6x-9=0 \\ D={(-6)}^2-4·1·(-9)=36+36=72>0 \\ x=\frac{6\pm \sqrt{72}}{2}; x=\frac{6\pm 6\sqrt{2}}{2} \\ x=3\pm 3\sqrt{2} \\ \text{Ответ:} 3+3\sqrt{2}; 3-3\sqrt{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} z-5=z^2-25 \\ {z}^2-z+5-25=0 \\ {z}^2-z-20=0 \\ D={(-1)}^2-4·1·(-20)=1+80=81>0 \\ z=\frac{1\pm \sqrt{81}}{2}; z=\frac{1\pm 9}{2} \\ z=5 \text{или} z=-4 \\ \text{Ответ:} -4; 5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} y^2=52y-576 \\ {y}^2-52y+576=0 \\ D={(-52)}^2-4·1·576=2704-2304=400>0 \\ y=\frac{52\pm \sqrt{400}}{2}; y=\frac{52\pm 20}{2} \\ y=36 \text{или} y=16 \\ \text{Ответ:} 16; 36 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} 15y^2-30=22y+7 \\ 15y^2-22y-30-7=0 \\ 15y^2-22y-37=0 \\ D={(-22)}^2-4·15·(-37)=484+2220=2704>0 \\ y=\frac{22\pm \sqrt{2704}}{30}, y=\frac{22\pm 52}{30} \\ y=\frac{74}{30} \text{или} y=-1 \\ y=\frac{37}{15} \\ y=2\frac{7}{15} \\ \text{Ответ:} -1; 2\frac{7}{15} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж)}} 25p^2=10p-1 \\ 25p^2-10p+1=0 \\ D={(-10)}^2-4·25·1=100-100=0 \\ p=\frac{10}{50}, p=\frac{1}{5} \\ \text{Ответ:} \frac{1}{5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з)}} 299x^2+100x=500-101x^2 \\ 299x^2+101x^2+100x-500=0 \\ 400x^2+100x-500=0 /:100 \\ 4x^2+x-5=0 \\ D=1^2-4·4·(-5)=1+80=81>0 \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{81}}{8}, x=\frac{-1\pm 9}{8} \\ \begin{array}{ccl}x=1& \text{или}& x=-\frac{10}{8}\\ & & x=-\frac{5}{4}\\ & & x=-1\frac{1}{4}\end{array} \\ \text{Ответ:} 1; -1\frac{1}{4} \end{gathered}$$

а) $5x^2 = 9x + 2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:
$5x^2 - 9x - 2 = 0$
Здесь коэффициенты: $a = 5$, $b = -9$, $c = -2$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{9 + 11}{10} = \frac{20}{10} = 2$.
$x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{9 - 11}{10} = \frac{-2}{10} = -0.2$.
Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = -0.2$.

б) $-t^2 = 5t - 14$

Перенесем все члены уравнения в одну часть, например, в правую, чтобы коэффициент при $t^2$ стал положительным:
$0 = t^2 + 5t - 14$
$t^2 + 5t - 14 = 0$
Это квадратное уравнение с коэффициентами: $a = 1$, $b = 5$, $c = -14$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$.
Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.
Ответ: $t_1 = 2$, $t_2 = -7$.

в) $6x + 9 = x^2$

Приведем уравнение к стандартному виду:
$x^2 - 6x - 9 = 0$
Коэффициенты: $a = 1$, $b = -6$, $c = -9$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 36 + 36 = 72$.
Так как $D > 0$, но не является полным квадратом, корни будут иррациональными.
$\sqrt{D} = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-(-6) + 6\sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 6\sqrt{2}}{2} = 3 + 3\sqrt{2}$.
$x_2 = \frac{-(-6) - 6\sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 6\sqrt{2}}{2} = 3 - 3\sqrt{2}$.
Ответ: $x_1 = 3 + 3\sqrt{2}$, $x_2 = 3 - 3\sqrt{2}$.

г) $z - 5 = z^2 - 25$

Приведем уравнение к стандартному виду:
$z^2 - z - 25 + 5 = 0$
$z^2 - z - 20 = 0$
Коэффициенты: $a = 1$, $b = -1$, $c = -20$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$.
Найдем корни:
$z_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
$z_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 9}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.
Ответ: $z_1 = 5$, $z_2 = -4$.

д) $y^2 = 52y - 576$

Приведем уравнение к стандартному виду:
$y^2 - 52y + 576 = 0$
Коэффициенты: $a = 1$, $b = -52$, $c = 576$.
Так как коэффициент $b$ - четное число, можно использовать формулу для $D/4$:
$k = b/2 = -52/2 = -26$.
$D/4 = k^2 - ac = (-26)^2 - 1 \cdot 576 = 676 - 576 = 100$.
Корни находим по формуле $y_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D/4}}{a}$:
$y_1 = \frac{26 + \sqrt{100}}{1} = 26 + 10 = 36$.
$y_2 = \frac{26 - \sqrt{100}}{1} = 26 - 10 = 16$.
Ответ: $y_1 = 36$, $y_2 = 16$.

е) $15y^2 - 30 = 22y + 7$

Перенесем все члены в левую часть:
$15y^2 - 22y - 30 - 7 = 0$
$15y^2 - 22y - 37 = 0$
Коэффициенты: $a = 15$, $b = -22$, $c = -37$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-22)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-37) = 484 + 2220 = 2704$.
$\sqrt{2704} = 52$.
Найдем корни:
$y_1 = \frac{-(-22) + 52}{2 \cdot 15} = \frac{22 + 52}{30} = \frac{74}{30} = \frac{37}{15}$.
$y_2 = \frac{-(-22) - 52}{2 \cdot 15} = \frac{22 - 52}{30} = \frac{-30}{30} = -1$.
Ответ: $y_1 = \frac{37}{15}$, $y_2 = -1$.

ж) $25p^2 = 10p - 1$

Приведем уравнение к стандартному виду:
$25p^2 - 10p + 1 = 0$
Можно заметить, что левая часть является полным квадратом разности: $(5p)^2 - 2 \cdot (5p) \cdot 1 + 1^2 = (5p - 1)^2$.
Тогда уравнение принимает вид:
$(5p - 1)^2 = 0$
Отсюда следует:
$5p - 1 = 0$
$5p = 1$
$p = \frac{1}{5}$.
Это уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня).
Ответ: $p = \frac{1}{5}$.

з) $299x^2 + 100x = 500 - 101x^2$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$299x^2 + 101x^2 + 100x - 500 = 0$
$400x^2 + 100x - 500 = 0$
Разделим все уравнение на 100 для упрощения:
$4x^2 + x - 5 = 0$
Коэффициенты: $a = 4$, $b = 1$, $c = -5$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 + 9}{8} = \frac{8}{8} = 1$.
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 - 9}{8} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4} = -1.25$.
Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -1.25$.

541. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 25=26x-x^2 \\ {x}^2-26x+25=0 \\ D={(-26)}^2-4·1·25=676-100=576>0 \\ x=\frac{26\pm \sqrt{576}}{2}, x=\frac{26\pm 24}{2} \\ x=25 \text{или} x=1 \\ \text{Ответ:} 1; 25 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 3t^2=10-29t \\ 3t^2+29t-10=0 \\ D={29}^2-4·3·(-10)=841+120=961>0 \\ t=\frac{-29\pm \sqrt{961}}{6}, t=\frac{-29\pm 31}{6} \\ t=\frac{1}{3} \text{или} t=-10 \\ \text{Ответ:} -10; \frac{1}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} y^2=4y+96 \\ {y}^2-4y-96=0 \\ D={(-4)}^2-4·1·(-96)=16+384=400>0 \\ y=\frac{4\pm \sqrt{400}}{2}; y=\frac{4\pm 20}{2} \\ y=12 \text{или} y=-8 \\ \text{Ответ:} -8; 12 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} 3p^2+3=10p \\ 3p^2-10p+3=0 \\ D={(-10)}^2-4·3·3=100-36=64>0 \\ p=\frac{10\pm \sqrt{64}}{6}; p=\frac{10\pm 8}{6} \\ p=3; p=\frac{1}{3} \\ \text{Ответ:} \frac{1}{3}; 3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} x^2-20x=20x+100 \\ {x}^2-20x-20x-100=0 \\ {x}^2-40x-100=0 \\ D={(-40)}^2-4·1·(-100)=1600+400=2000 \\ x=\frac{40\pm \sqrt{2000}}{2}, x=\frac{40\pm \sqrt{5·400}}{2} \\ x=\frac{40\pm 20\sqrt{5}}{2}, x=20\pm 10\sqrt{5} \\ \text{Ответ:} 20+10\sqrt{5}; 20-10\sqrt{5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} 25x^2-13x=10x^2-7 \\ 25x^2-10x^2-13x+7=0 \\ 15x^2-13x+7=0 \\ D={(-13)}^2-4·15·7=169-420=-251<0 \\ \text{Ответ: корней нет} \end{gathered}$$

а) $25 = 26x - x^2$

Для решения данного уравнения перенесем все его члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$.

$x^2 - 26x + 25 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=-26$, $c=25$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-26)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 676 - 100 = 576$

Поскольку дискриминант положительный ($D > 0$), уравнение имеет два действительных корня. Найдем их, используя формулу корней квадратного уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-26) + \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{26 + 24}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$x_2 = \frac{-(-26) - \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{26 - 24}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: $1; 25$.

б) $3t^2 = 10 - 29t$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$3t^2 + 29t - 10 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=3$, $b=29$, $c=-10$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 29^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 841 + 120 = 961$

Дискриминант положителен. Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-29 + \sqrt{961}}{2 \cdot 3} = \frac{-29 + 31}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-29 - \sqrt{961}}{2 \cdot 3} = \frac{-29 - 31}{6} = \frac{-60}{6} = -10$

Ответ: $-10; \frac{1}{3}$.

в) $y^2 = 4y + 96$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$y^2 - 4y - 96 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=-4$, $c=-96$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400$

Дискриминант положителен. Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) + \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 20}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) - \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 20}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Ответ: $-8; 12$.

г) $3p^2 + 3 = 10p$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$3p^2 - 10p + 3 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=3$, $b=-10$, $c=3$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$

Дискриминант положителен. Найдем корни уравнения:

$p_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-10) + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$p_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-10) - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}; 3$.

д) $x^2 - 20x = 20x + 100$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 - 20x - 20x - 100 = 0$

$x^2 - 40x - 100 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=-40$, $c=-100$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 1600 + 400 = 2000$

Дискриминант положителен. Упростим корень из дискриминанта: $\sqrt{2000} = \sqrt{400 \cdot 5} = 20\sqrt{5}$.

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-40) \pm 20\sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{40 \pm 20\sqrt{5}}{2} = 20 \pm 10\sqrt{5}$

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 20 + 10\sqrt{5}$ и $x_2 = 20 - 10\sqrt{5}$.

Ответ: $20 - 10\sqrt{5}; 20 + 10\sqrt{5}$.

е) $25x^2 - 13x = 10x^2 - 7$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$25x^2 - 10x^2 - 13x + 7 = 0$

$15x^2 - 13x + 7 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=15$, $b=-13$, $c=7$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 7 = 169 - 420 = -251$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

542. Найдите корни уравнения:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} (2x-3)(5x+1)=2x+\frac{2}{5} \\ 10x^2+2x-15x-3-2x-0,4=0 \\ 10x^2-15x-3,4=0 \\ D={(-15)}^2-4·10·(-3,4)=225+136=361>0 \\ x=\frac{15\pm \sqrt{361}}{20}, x=\frac{15\pm 19}{20} \\ \begin{array}{lcl}x=\frac{34}{20}& \text{или}& x=-\frac{4}{20}\\ x=\frac{17}{10}& & x=-\frac{1}{5}\\ x=1,7& & x=-0,2\end{array} \\ \text{Ответ:} -0,2; 1,7 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} (3y-1)(y+3)=y(1+6y) \\ 3y^2+9y-y-3=y+6y^2 \\ 3y^2+8y-3-y-6y^2=0 \\ -3y^2+7y-3=0 \\ D=7^2-4·(-3)·(-3)=49-36=13>0 \\ y=\frac{-7\pm \sqrt{13}}{-6}; y=-\frac{-7\pm \sqrt{13}}{6} \\ y=\frac{7\pm \sqrt{13}}{6} \\ \text{Ответ:} \frac{7+\sqrt{13}}{6}; \frac{7-\sqrt{13}}{6} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} (t-1)(t+1)=2(5t-10\frac{1}{2}) \\ {t}^2-1=10t-21 \\ {t}^2-10t-1+21=0 \\ {t}^2-10t+20=0 \\ D={(-10)}^2-4·1·20=100-80=20>0 \\ t=\frac{10\pm \sqrt{20}}{2}; t=\frac{10\pm 2\sqrt{5}}{2}; \\ t=5\pm \sqrt{5} \\ \text{Ответ:} 5+\sqrt{5}; 5-\sqrt{5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} -z(z+z)=(z-2)(z+2) \\ -z^2-7z=z^2-4 \\ -z^2-z^2-7z+4=0 \\ -2z^2-7z+4=0 \\ D={(-7)}^2-4·(-2)·4=49+32=81>0 \\ z=\frac{7\pm \sqrt{81}}{-4}; z=\frac{7\pm 9}{-4} \\ z=-4; z=0,5 \\ \text{Ответ:} -4; 0,5 \end{gathered}$$

а) $(2x - 3)(5x + 1) = 2x + \frac{2}{5}$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$2x \cdot 5x + 2x \cdot 1 - 3 \cdot 5x - 3 \cdot 1 = 2x + \frac{2}{5}$

$10x^2 + 2x - 15x - 3 = 2x + \frac{2}{5}$

$10x^2 - 13x - 3 = 2x + \frac{2}{5}$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$10x^2 - 13x - 2x - 3 - \frac{2}{5} = 0$

$10x^2 - 15x - (3 + \frac{2}{5}) = 0$

$10x^2 - 15x - (\frac{15}{5} + \frac{2}{5}) = 0$

$10x^2 - 15x - \frac{17}{5} = 0$

Умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от дроби:

$50x^2 - 75x - 17 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$a = 50, b = -75, c = -17$

$D = (-75)^2 - 4 \cdot 50 \cdot (-17) = 5625 + 3400 = 9025$

$\sqrt{D} = \sqrt{9025} = 95$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_1 = \frac{75 + 95}{2 \cdot 50} = \frac{170}{100} = 1,7$

$x_2 = \frac{75 - 95}{2 \cdot 50} = \frac{-20}{100} = -0,2$

Ответ: $1,7$; $-0,2$.

б) $(3y - 1)(y + 3) = y(1 + 6y)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3y \cdot y + 3y \cdot 3 - 1 \cdot y - 1 \cdot 3 = y \cdot 1 + y \cdot 6y$

$3y^2 + 9y - y - 3 = y + 6y^2$

$3y^2 + 8y - 3 = y + 6y^2$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные:

$0 = y + 6y^2 - (3y^2 + 8y - 3)$

$0 = 6y^2 - 3y^2 + y - 8y + 3$

$3y^2 - 7y + 3 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$a = 3, b = -7, c = 3$

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 49 - 36 = 13$

$\sqrt{D} = \sqrt{13}$

$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$y_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{6}$

Ответ: $\frac{7 + \sqrt{13}}{6}$; $\frac{7 - \sqrt{13}}{6}$.

в) $(t - 1)(t + 1) = 2(5t - 10\frac{1}{2})$

Упростим обе части уравнения. В левой части используем формулу разности квадратов, в правой — преобразуем смешанное число в неправильную дробь и раскроем скобки:

$t^2 - 1^2 = 2(5t - \frac{21}{2})$

$t^2 - 1 = 2 \cdot 5t - 2 \cdot \frac{21}{2}$

$t^2 - 1 = 10t - 21$

Перенесем все члены в левую часть:

$t^2 - 10t - 1 + 21 = 0$

$t^2 - 10t + 20 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$a = 1, b = -10, c = 20$

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 100 - 80 = 20$

$\sqrt{D} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$t_{1,2} = \frac{10 \pm 2\sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{2(5 \pm \sqrt{5})}{2} = 5 \pm \sqrt{5}$

Ответ: $5 + \sqrt{5}$; $5 - \sqrt{5}$.

г) $-z(z + 7) = (z - 2)(z + 2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В правой части используем формулу разности квадратов:

$-z^2 - 7z = z^2 - 2^2$

$-z^2 - 7z = z^2 - 4$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = z^2 - 4 + z^2 + 7z$

$2z^2 + 7z - 4 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$a = 2, b = 7, c = -4$

$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$

$\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$

$z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$z_1 = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0,5$

$z_2 = \frac{-7 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4$

Ответ: $0,5$; $-4$.

543. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} {(x+4)}^2=3x+40 \\ {x}^2+8x+16-3x-40=0 \\ {x}^2+5x-24=0 \\ D=5^2-4·1·(-24)=25+96=121>0 \\ x=\frac{-5\pm \sqrt{121}}{2}, x=\frac{-5\pm 11}{2} \\ x=3 \text{или} x=-8 \\ \text{Ответ:} -8; 3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} {(2p-3)}^2=11p-19 \\ 4p^2-12p+9=11p-19 \\ 4p^2-12p-11p+9+19=0 \\ 4p^2-23p+28=0 \\ D={(-23)}^2-4·4·28=529-448=81>0 \\ p=\frac{23\pm \sqrt{81}}{8}, p=\frac{23\pm 9}{8} \\ p=4 \text{или} p=\frac{14}{8}; \\ p=\frac{7}{4}; p=1\frac{3}{4} \\ \text{Ответ:} 1\frac{3}{4}; 4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 3{(x+4)}^2=10x+32 \\ 3(x^2+8x+16)=10x+32 \\ 3x^2+24x+48-10x-32=0 \\ 3x^2+14x+16=0 \\ D={14}^2-4·3·16=196-192=4>0 \\ x=\frac{-14\pm \sqrt{4}}{6}; x=\frac{-14\pm 2}{6} \\ x=-2 \text{или} x=-\frac{16}{6} \\ x=-\frac{8}{3} \\ x=-2\frac{2}{3} \\ \text{Ответ:} -2; -2\frac{2}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} 15y^2+17=15{(y+1)}^2 \\ 15y^2+17=15(y^2+2y+1) \\ 15y^2+17=15y^2+30y+15 \\ 15y^2-15y^2-30y+17-15=0 \\ -30y+2=0 \\ -30y=-2 \\ y=\frac{2}{30}; y=\frac{1}{15} \\ \text{Ответ:} \frac{1}{15} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} {(x+1)}^2=7918-2x \\ {x}^2+2x+1+2x-7918=0 \\ {x}^2+4x-7917=0 \\ {x}^2+2·2x-7917=0 \\ {D}_1=2^2-1·(-7917)=4+7917=7921 \\ x=\frac{-2\pm \sqrt{7921}}{1}; x=-2\pm 89 \\ x=87 \text{или} x=-91 \\ \text{Ответ:} -91; 87 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} {(m+2)}^2=3131-2m \\ {m}^2+4m+4+2m-3131=0 \\ {m}^2+6m-3127=0 \\ {m}^2+2·3m-3127=0 \\ {D}_1=3^2-1·(-3127)=9+3127=3136 \\ m=\frac{-3\pm \sqrt{3136}}{1}, m=-3\pm 56 \\ m=53 \text{или} m=-59 \\ \text{Ответ:} -59; 53 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} {(m+2)}^2=3131-2m \\ {m}^2+4m+4+2m-3131=0 \\ {m}^2+6m-3127=0 \\ {m}^2+2·3m-3127=0 \\ {D}_1=3^2-1·(-3127)=9+3127=3136 \\ m=\frac{-3\pm \sqrt{3136}}{1}, m=-3\pm 56 \\ m=53 \text{или} m=-59 \\ \text{Ответ:} -59; 53 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж)}} {(x+1)}^2={(2x-1)}^2 \\ {x}^2-2x+1=4x^2-4x+1 \\ {x}^2+2x+1-4x^2+4x-1=0 \\ -3x^2+6x=0 \\ -3x(x-2)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& x-2=0\\ & & x=2\end{array} \\ \text{Ответ:} 0; 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з)}} {(n-2)}^2+48={(2-3n)}^2 \\ {n}^2-4n+4+48=4-12n+9n^2 \\ {n}^2-4n+52-4+12n-9n^2=0 \\ -8n^2+8n+48=0 /:(-8) \\ {n}^2-n-6=0 \\ D={(-1)}^2-4·1·(-6)=1+24=25 \\ n=\frac{1\pm \sqrt{25}}{2}, n=\frac{1\pm 5}{2} \\ n=3 \text{или} n=-2 \\ \text{Ответ:} -2; 3 \end{gathered}$$

а) Дано уравнение $(x + 4)^2 = 3x + 40$.
Сначала раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = 3x + 40$
$x^2 + 8x + 16 = 3x + 40$
Теперь перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + 8x - 3x + 16 - 40 = 0$
$x^2 + 5x - 24 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-5 + 11}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-5 - 11}{2 \cdot 1} = \frac{-16}{2} = -8$

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -8$.

б) Дано уравнение $(2p - 3)^2 = 11p - 19$.
Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(2p)^2 - 2 \cdot 2p \cdot 3 + 3^2 = 11p - 19$
$4p^2 - 12p + 9 = 11p - 19$
Перенесем все члены в левую часть:
$4p^2 - 12p - 11p + 9 + 19 = 0$
$4p^2 - 23p + 28 = 0$
Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-23)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 28 = 529 - 448 = 81$.
$\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$.
Найдем корни по формуле $p_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$p_1 = \frac{23 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$
$p_2 = \frac{23 - 9}{2 \cdot 4} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4}$

Ответ: $p_1 = 4, p_2 = \frac{7}{4}$.

в) Дано уравнение $3(x + 4)^2 = 10x + 32$.
Раскроем скобки $(x+4)^2$ и умножим на 3:
$3(x^2 + 8x + 16) = 10x + 32$
$3x^2 + 24x + 48 = 10x + 32$
Перенесем все члены в левую часть:
$3x^2 + 24x - 10x + 48 - 32 = 0$
$3x^2 + 14x + 16 = 0$
Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
$D = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 196 - 192 = 4$.
$\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-14 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$
$x_2 = \frac{-14 - 2}{2 \cdot 3} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}$

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = -\frac{8}{3}$.

г) Дано уравнение $15y^2 + 17 = 15(y + 1)^2$.
Раскроем скобки в правой части:
$15y^2 + 17 = 15(y^2 + 2y + 1)$
$15y^2 + 17 = 15y^2 + 30y + 15$
Перенесем члены с переменной в одну сторону, а константы в другую. Члены $15y^2$ взаимно уничтожаются:
$17 - 15 = 30y$
$2 = 30y$
$y = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$

Ответ: $y = \frac{1}{15}$.

д) Дано уравнение $(x + 1)^2 = 7918 - 2x$.
Раскроем скобки в левой части:
$x^2 + 2x + 1 = 7918 - 2x$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 + 2x + 2x + 1 - 7918 = 0$
$x^2 + 4x - 7917 = 0$
Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7917) = 16 + 31668 = 31684$.
Найдем корень из дискриминанта. $\sqrt{31684} = 178$. Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-4 + 178}{2} = \frac{174}{2} = 87$
$x_2 = \frac{-4 - 178}{2} = \frac{-182}{2} = -91$
Примечание: Для четного второго коэффициента $b=2k$ можно использовать формулу $D/4 = k^2 - ac$. Здесь $k=2$, $D/4 = 2^2 - 1(-7917) = 4 + 7917 = 7921$. $\sqrt{7921}=89$. Тогда $x_{1,2} = -k \pm \sqrt{D/4} = -2 \pm 89$, что дает те же корни 87 и -91.

Ответ: $x_1 = 87, x_2 = -91$.

е) Дано уравнение $(m + 2)^2 = 3131 - 2m$.
Раскроем скобки в левой части:
$m^2 + 4m + 4 = 3131 - 2m$
Перенесем все члены в левую часть:
$m^2 + 4m + 2m + 4 - 3131 = 0$
$m^2 + 6m - 3127 = 0$
Решим квадратное уравнение. Второй коэффициент четный ($k=3$), используем формулу для $D/4$:
$D/4 = k^2 - ac = 3^2 - 1 \cdot (-3127) = 9 + 3127 = 3136$.
$\sqrt{D/4} = \sqrt{3136} = 56$.
Найдем корни по формуле $m_{1,2} = -k \pm \sqrt{D/4}$:
$m_1 = -3 + 56 = 53$
$m_2 = -3 - 56 = -59$

Ответ: $m_1 = 53, m_2 = -59$.

ж) Дано уравнение $(x + 1)^2 = (2x - 1)^2$.
Это уравнение вида $A^2 = B^2$, которое равносильно совокупности двух уравнений: $A=B$ или $A=-B$.
1) $x + 1 = 2x - 1$
$1 + 1 = 2x - x$
$x = 2$
2) $x + 1 = -(2x - 1)$
$x + 1 = -2x + 1$
$x + 2x = 1 - 1$
$3x = 0$
$x = 0$
Другой способ - перенести все в левую часть и использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(x + 1)^2 - (2x - 1)^2 = 0$
$((x + 1) - (2x - 1))((x + 1) + (2x - 1)) = 0$
$(x + 1 - 2x + 1)(x + 1 + 2x - 1) = 0$
$(-x + 2)(3x) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$-x + 2 = 0 \Rightarrow x = 2$
$3x = 0 \Rightarrow x = 0$

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 2$.

з) Дано уравнение $(n - 2)^2 + 48 = (2 - 3n)^2$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$(n^2 - 4n + 4) + 48 = 4 - 12n + 9n^2$
$n^2 - 4n + 52 = 9n^2 - 12n + 4$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $n^2$ был положительным:
$0 = 9n^2 - n^2 - 12n + 4n + 4 - 52$
$0 = 8n^2 - 8n - 48$
Разделим все уравнение на 8 для упрощения:
$n^2 - n - 6 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $n_1 + n_2 = 1$, а произведение $n_1 \cdot n_2 = -6$.
Подбором находим корни: $n_1 = 3$ и $n_2 = -2$.
Проверим через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.
$\sqrt{D} = 5$.
$n_1 = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$n_2 = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: $n_1 = 3, n_2 = -2$.

544. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} \frac{x^2-1}{2}-11x=11 /·2 \\ {x}^2-1-22x=22 \\ {x}^2-22x-1-22=0 \\ {x}^2-22x-23=0 \\ D={(-22)}^2-4·1·(-23)=484+92=576>0 \\ x=\frac{22\pm \sqrt{576}}{2}, x=\frac{22\pm 24}{2} \\ x=23 \text{или} x=-1 \\ \text{Ответ:} -1; 23 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} \frac{x^2+x}{2}=\frac{8x-7}{3} /·6 \\ 3(x^2+x)=2(8x-7) \\ 3x^2+3x=16x-14 \\ 3x^2+3x-16x+14=0 \\ 3x^2-13x+14=0 \\ D={(-13)}^2-4·3·14=169-168=1>0 \\ x=\frac{13\pm \sqrt{1}}{6}, x=\frac{13\pm 1}{6} \\ x=\frac{14}{6} \text{или} x=2 \\ x=\frac{7}{3} \\ x=2\frac{1}{3} \\ \text{Ответ:} 2\frac{1}{3}; 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} \frac{4x^2-1}{3}=x(10x-9) /·3 \\ 4x^2-1=3x(10x-9) \\ 4x^2-1=30x^2-27x \\ 4x^2-30x^2+27x-1=0 \\ -26x^2+27x-1=0 \\ D={27}^2-4·(-26)·(-1)=729-104=625>0 \\ x=\frac{-27\pm \sqrt{625}}{-52}; x=\frac{-27\pm 25}{-52} \\ x=\frac{1}{26} \text{или} x=1 \\ \text{Ответ:} 1; \frac{1}{26} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} \frac{3}{4}{x}^2-\frac{2}{5}x=\frac{4}{5}{x}^2+\frac{3}{4} /·20 \\ 5·3x^2-4·2x=4·4x^2+5·3 \\ 15x^2-8x=16x^2+15 \\ 15x^2-16x^2-8x-15=0 \\ -x^2-8x-15=0 \\ D={(-8)}^2-4·(-1)·(-15)=64-60=4>0 \\ x=\frac{8\pm \sqrt{4}}{-2}; x=\frac{8\pm 2}{-2} \\ x=-5 \text{или} x=-3 \\ \text{Ответ:} -3; -5 \end{gathered}$$

а) $\frac{x^2 - 1}{2} - 11x = 11$
Для решения уравнения сначала избавимся от знаменателя, умножив обе части уравнения на 2:
$2 \cdot (\frac{x^2 - 1}{2} - 11x) = 2 \cdot 11$
$x^2 - 1 - 22x = 22$
Теперь приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - 22x - 1 - 22 = 0$
$x^2 - 22x - 23 = 0$
Найдем корни уравнения с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-23) = 484 + 92 = 576$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$.
Корни находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{22 + 24}{2} = \frac{46}{2} = 23$
$x_2 = \frac{22 - 24}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Ответ: -1; 23.

б) $\frac{x^2 + x}{2} = \frac{8x - 7}{3}$
Чтобы избавиться от дробей, воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$3(x^2 + x) = 2(8x - 7)$
Раскроем скобки:
$3x^2 + 3x = 16x - 14$
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:
$3x^2 + 3x - 16x + 14 = 0$
$3x^2 - 13x + 14 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 14 = 169 - 168 = 1$
$\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{13 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$
$x_2 = \frac{13 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$
Ответ: $2; \frac{7}{3}$.

в) $\frac{4x^2 - 1}{3} = x(10x - 9)$
Умножим обе части уравнения на 3, чтобы убрать знаменатель:
$4x^2 - 1 = 3x(10x - 9)$
Раскроем скобки в правой части:
$4x^2 - 1 = 30x^2 - 27x$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$30x^2 - 4x^2 - 27x + 1 = 0$
$26x^2 - 27x + 1 = 0$
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-27)^2 - 4 \cdot 26 \cdot 1 = 729 - 104 = 625$
$\sqrt{D} = \sqrt{625} = 25$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{27 + 25}{2 \cdot 26} = \frac{52}{52} = 1$
$x_2 = \frac{27 - 25}{2 \cdot 26} = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$
Ответ: $\frac{1}{26}; 1$.

г) $\frac{3}{4}x^2 - \frac{2}{5}x = \frac{4}{5}x^2 + \frac{3}{4}$
Для избавления от дробных коэффициентов умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 5, то есть на 20:
$20 \cdot (\frac{3}{4}x^2 - \frac{2}{5}x) = 20 \cdot (\frac{4}{5}x^2 + \frac{3}{4})$
$15x^2 - 8x = 16x^2 + 15$
Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные:
$0 = 16x^2 - 15x^2 + 8x + 15$
$x^2 + 8x + 15 = 0$
Решим полученное приведенное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -8$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 15$
Подбором находим, что корни равны -3 и -5.
$x_1 = -5, x_2 = -3$
Ответ: -5; -3.

545. Найдите корни уравнения и укажите их приближённые значения в виде десятичных дробей с точностью до 0,01:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 5x^2-x-1=0 \\ D={(-1)}^2-4·5·(-1)=1+20=21>0 \\ x=\frac{1\pm \sqrt{21}}{10} \\ x=\frac{1+\sqrt{21}}{10}\approx 0,56 \\ x=\frac{1-\sqrt{21}}{10}\approx -0,36 \\ \text{Ответ:} \approx -0,36; \approx 0,56 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 2x^2+7x+4=0 \\ D=7^2-4·2·4=49-32=17>0 \\ x=\frac{-7\pm \sqrt{17}}{4} \\ x=\frac{-7+\sqrt{17}}{4}\approx -0,72 \\ x=\frac{-7-\sqrt{17}}{4}\approx -2,78 \\ \text{Ответ:} \approx -0,72; \approx -2,78 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 3(y^2-2)-y=0 \\ 3y^2-y-6=0 \\ D={(-1)}^2-4·3·(-6)=1+72=73>0 \\ y=\frac{1\pm \sqrt{73}}{6} \\ y=\frac{1+\sqrt{73}}{6}\approx 1,59 \\ y=\frac{1-\sqrt{73}}{6}\approx -1,26 \\ \text{Ответ:} \approx -1,26; \approx 1,59 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} y^2+8(y-1)=3 \\ {y}^2+8y-8-3=0 \\ {y}^2+8y-11=0 \\ D=8^2-4·1·(-11)=64+44=108>0 \\ y=\frac{-8\pm \sqrt{108}}{2}; y=\frac{-8\pm \sqrt{36·3}}{2} \\ y=\frac{-8\pm 6\sqrt{3}}{2}; y=-4\pm 3\sqrt{3} \\ y=-4+3\sqrt{3}\approx 1,20 \\ y=-4-3\sqrt{3}\approx -9,20 \\ \text{Ответ:} \approx -9,20; \approx 1,20 \end{gathered}$$

а) Для решения квадратного уравнения $5x^2 - x - 1 = 0$ используем формулу корней через дискриминант. Здесь коэффициенты: $a=5$, $b=-1$, $c=-1$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 1 + 20 = 21$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{21}}{2 \cdot 5} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{10}$.
Теперь найдем их приближенные значения с точностью до 0,01. Используем приближенное значение $\sqrt{21} \approx 4.583$.
$x_1 = \frac{1 + \sqrt{21}}{10} \approx \frac{1 + 4.583}{10} = \frac{5.583}{10} = 0.5583 \approx 0.56$.
$x_2 = \frac{1 - \sqrt{21}}{10} \approx \frac{1 - 4.583}{10} = \frac{-3.583}{10} = -0.3583 \approx -0.36$.
Ответ: $x_1 \approx 0.56$, $x_2 \approx -0.36$.

б) Для уравнения $2x^2 + 7x + 4 = 0$ коэффициенты: $a=2$, $b=7$, $c=4$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 49 - 32 = 17$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 \pm \sqrt{17}}{4}$.
Теперь найдем их приближенные значения с точностью до 0,01. Используем приближенное значение $\sqrt{17} \approx 4.123$.
$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{17}}{4} \approx \frac{-7 + 4.123}{4} = \frac{-2.877}{4} \approx -0.719 \approx -0.72$.
$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{17}}{4} \approx \frac{-7 - 4.123}{4} = \frac{-11.123}{4} \approx -2.78075 \approx -2.78$.
Ответ: $x_1 \approx -0.72$, $x_2 \approx -2.78$.

в) Сначала приведем уравнение $3(y^2 - 2) - y = 0$ к стандартному виду $ay^2+by+c=0$.
$3y^2 - 6 - y = 0$
$3y^2 - y - 6 = 0$
Коэффициенты: $a=3$, $b=-1$, $c=-6$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 1 + 72 = 73$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{73}}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm \sqrt{73}}{6}$.
Теперь найдем их приближенные значения с точностью до 0,01. Используем приближенное значение $\sqrt{73} \approx 8.544$.
$y_1 = \frac{1 + \sqrt{73}}{6} \approx \frac{1 + 8.544}{6} = \frac{9.544}{6} \approx 1.5906 \approx 1.59$.
$y_2 = \frac{1 - \sqrt{73}}{6} \approx \frac{1 - 8.544}{6} = \frac{-7.544}{6} \approx -1.2573 \approx -1.26$.
Ответ: $y_1 \approx 1.59$, $y_2 \approx -1.26$.

г) Сначала приведем уравнение $y^2 + 8(y - 1) = 3$ к стандартному виду $ay^2+by+c=0$.
$y^2 + 8y - 8 = 3$
$y^2 + 8y - 11 = 0$
Коэффициенты: $a=1$, $b=8$, $c=-11$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 64 + 44 = 108$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{108}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 \pm \sqrt{36 \cdot 3}}{2} = \frac{-8 \pm 6\sqrt{3}}{2} = -4 \pm 3\sqrt{3}$.
Теперь найдем их приближенные значения с точностью до 0,01. Используем приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$.
$y_1 = -4 + 3\sqrt{3} \approx -4 + 3 \cdot 1.732 = -4 + 5.196 = 1.196 \approx 1.20$.
$y_2 = -4 - 3\sqrt{3} \approx -4 - 3 \cdot 1.732 = -4 - 5.196 = -9.196 \approx -9.20$.
Ответ: $y_1 \approx 1.20$, $y_2 \approx -9.20$.

546. (Для работы в парах.) Решите графически уравнение:

а) x² – 2x – 1 = 0;

б) x² – 4x + 2 = 0.

1) Обсудите друг с другом, в каком виде удобно представить уравнение.

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Найдите корни каждого из уравнений с помощью формулы корней квадратного уравнения и сравните их со значениями, найденными при графическом решении.

a) x²-2x-1=0

x²=2x+1

y=x²

y=2x+1

$$\begin{gathered} x\approx 2,4; x\approx -0,4 \\ {x}^2-2x-1=0 \\ D={(-2)}^2-4·1·(-1)=4+4=8 \\ x=\frac{2\pm \sqrt{8}}{2}; x=\frac{2\pm 2\sqrt{2}}{2} \\ x=1\pm \sqrt{2} \\ x=1+\sqrt{2}\approx 2,4 \\ x=1-\sqrt{2}\approx -0,4 \\ \text{Ответ:} \approx -0,4; \approx 2,4 \end{gathered}$$

б) x²-4x+2=0

x²=4x-2

y=x²

y=2x+1

$$\begin{gathered} x\approx 3,4; x_2\approx 0,6 \\ {x}^2-4x+2=0 \\ D={(-4)}^2-4·1·2=16-8=8>0 \\ x=\frac{4\pm \sqrt{8}}{2}; x=\frac{4\pm 2\sqrt{2}}{2} \\ x=2\pm \sqrt{2} \\ x=2+\sqrt{2}\approx 3,4 \\ x=2-\sqrt{2}\approx 0,6 \\ \text{Ответ:} \approx 0,6; \approx 3,4 \end{gathered}$$

Для графического решения квадратных уравнений, представленных в задании, удобно преобразовать их к виду, где в левой и правой частях стоят функции, графики которых легко построить.

Существует два основных подхода:

1. Построить график параболы $y = ax^2 + bx + c$ и найти точки ее пересечения с осью абсцисс (прямой $y=0$). Координаты $x$ этих точек и будут корнями уравнения.
2. Преобразовать уравнение к виду $x^2 = kx + m$ и найти абсциссы точек пересечения графиков двух более простых функций: стандартной параболы $y=x^2$ и прямой $y=kx+m$. Этот способ часто является более простым для построения вручную.

Воспользуемся вторым подходом для решения.

а) $x^2 - 2x - 1 = 0$

1. Графическое решение.

Представим уравнение в виде $x^2 = 2x + 1$. Теперь задача сводится к нахождению абсцисс точек пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = 2x + 1$.

Построим эти графики в одной системе координат:

• $y = x^2$ — это стандартная парабола, проходящая через точки (0, 0), (1, 1), (-1, 1), (2, 4), (-2, 4).
• $y = 2x + 1$ — это прямая. Для ее построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=1$ (точка (0, 1)); если $x=1$, то $y=3$ (точка (1, 3)).

Совместив графики, мы увидим две точки пересечения. Их абсциссы — это и есть корни исходного уравнения. Приблизительно они равны $x_1 \approx 2.4$ и $x_2 \approx -0.4$.

2. Решение с помощью формулы корней и сравнение.

Теперь найдем точные корни уравнения $x^2 - 2x - 1 = 0$ по формуле корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

В нашем случае коэффициенты: $a=1$, $b=-2$, $c=-1$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$.

Найдем корни: $x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.

Таким образом, точные корни уравнения: $x_1 = 1 + \sqrt{2}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{2}$.

Сравним результаты. Используя приближенное значение $\sqrt{2} \approx 1.414$, получаем:

$x_1 = 1 + \sqrt{2} \approx 1 + 1.414 = 2.414$

$x_2 = 1 - \sqrt{2} \approx 1 - 1.414 = -0.414$

Как видим, значения, найденные аналитически, очень близки к значениям, полученным при графическом решении ($2.414 \approx 2.4$ и $-0.414 \approx -0.4$).

Ответ: точные корни уравнения $x_1 = 1 + \sqrt{2}$, $x_2 = 1 - \sqrt{2}$; приближенные корни, найденные графически: $x_1 \approx 2.4$, $x_2 \approx -0.4$.

б) $x^2 - 4x + 2 = 0$

1. Графическое решение.

Представим уравнение в виде $x^2 = 4x - 2$. Задача сводится к нахождению абсцисс точек пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = 4x - 2$.

Построим графики в одной системе координат:

• $y = x^2$ — стандартная парабола.
• $y = 4x - 2$ — прямая. Для ее построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=-2$ (точка (0, -2)); если $x=1$, то $y=2$ (точка (1, 2)).

Построив графики, находим абсциссы двух точек пересечения. Приблизительные значения корней: $x_1 \approx 3.4$ и $x_2 \approx 0.6$.

2. Решение с помощью формулы корней и сравнение.

Найдем точные корни уравнения $x^2 - 4x + 2 = 0$ по формуле.

Коэффициенты: $a=1$, $b=-4$, $c=2$.

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$.

Найдем корни: $x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$.

Точные корни уравнения: $x_1 = 2 + \sqrt{2}$ и $x_2 = 2 - \sqrt{2}$.

Сравним результаты. Используя приближенное значение $\sqrt{2} \approx 1.414$, получаем:

$x_1 = 2 + \sqrt{2} \approx 2 + 1.414 = 3.414$

$x_2 = 2 - \sqrt{2} \approx 2 - 1.414 = 0.586$

Значения, найденные аналитически, очень близки к значениям, полученным при графическом решении ($3.414 \approx 3.4$ и $0.586 \approx 0.6$).

Ответ: точные корни уравнения $x_1 = 2 + \sqrt{2}$, $x_2 = 2 - \sqrt{2}$; приближенные корни, найденные графически: $x_1 \approx 3.4$, $x_2 \approx 0.6$.