Номер 544, страница 126 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Формула корней квадратного уравнения. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 544, страница 126.

544. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} \frac{x^2-1}{2}-11x=11 /·2 \\ {x}^2-1-22x=22 \\ {x}^2-22x-1-22=0 \\ {x}^2-22x-23=0 \\ D={(-22)}^2-4·1·(-23)=484+92=576>0 \\ x=\frac{22\pm \sqrt{576}}{2}, x=\frac{22\pm 24}{2} \\ x=23 \text{или} x=-1 \\ \text{Ответ:} -1; 23 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} \frac{x^2+x}{2}=\frac{8x-7}{3} /·6 \\ 3(x^2+x)=2(8x-7) \\ 3x^2+3x=16x-14 \\ 3x^2+3x-16x+14=0 \\ 3x^2-13x+14=0 \\ D={(-13)}^2-4·3·14=169-168=1>0 \\ x=\frac{13\pm \sqrt{1}}{6}, x=\frac{13\pm 1}{6} \\ x=\frac{14}{6} \text{или} x=2 \\ x=\frac{7}{3} \\ x=2\frac{1}{3} \\ \text{Ответ:} 2\frac{1}{3}; 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} \frac{4x^2-1}{3}=x(10x-9) /·3 \\ 4x^2-1=3x(10x-9) \\ 4x^2-1=30x^2-27x \\ 4x^2-30x^2+27x-1=0 \\ -26x^2+27x-1=0 \\ D={27}^2-4·(-26)·(-1)=729-104=625>0 \\ x=\frac{-27\pm \sqrt{625}}{-52}; x=\frac{-27\pm 25}{-52} \\ x=\frac{1}{26} \text{или} x=1 \\ \text{Ответ:} 1; \frac{1}{26} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} \frac{3}{4}{x}^2-\frac{2}{5}x=\frac{4}{5}{x}^2+\frac{3}{4} /·20 \\ 5·3x^2-4·2x=4·4x^2+5·3 \\ 15x^2-8x=16x^2+15 \\ 15x^2-16x^2-8x-15=0 \\ -x^2-8x-15=0 \\ D={(-8)}^2-4·(-1)·(-15)=64-60=4>0 \\ x=\frac{8\pm \sqrt{4}}{-2}; x=\frac{8\pm 2}{-2} \\ x=-5 \text{или} x=-3 \\ \text{Ответ:} -3; -5 \end{gathered}$$

а) $\frac{x^2 - 1}{2} - 11x = 11$
Для решения уравнения сначала избавимся от знаменателя, умножив обе части уравнения на 2:
$2 \cdot (\frac{x^2 - 1}{2} - 11x) = 2 \cdot 11$
$x^2 - 1 - 22x = 22$
Теперь приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - 22x - 1 - 22 = 0$
$x^2 - 22x - 23 = 0$
Найдем корни уравнения с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-23) = 484 + 92 = 576$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$.
Корни находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{22 + 24}{2} = \frac{46}{2} = 23$
$x_2 = \frac{22 - 24}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Ответ: -1; 23.

б) $\frac{x^2 + x}{2} = \frac{8x - 7}{3}$
Чтобы избавиться от дробей, воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$3(x^2 + x) = 2(8x - 7)$
Раскроем скобки:
$3x^2 + 3x = 16x - 14$
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:
$3x^2 + 3x - 16x + 14 = 0$
$3x^2 - 13x + 14 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 14 = 169 - 168 = 1$
$\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{13 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$
$x_2 = \frac{13 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$
Ответ: $2; \frac{7}{3}$.

в) $\frac{4x^2 - 1}{3} = x(10x - 9)$
Умножим обе части уравнения на 3, чтобы убрать знаменатель:
$4x^2 - 1 = 3x(10x - 9)$
Раскроем скобки в правой части:
$4x^2 - 1 = 30x^2 - 27x$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$30x^2 - 4x^2 - 27x + 1 = 0$
$26x^2 - 27x + 1 = 0$
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-27)^2 - 4 \cdot 26 \cdot 1 = 729 - 104 = 625$
$\sqrt{D} = \sqrt{625} = 25$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{27 + 25}{2 \cdot 26} = \frac{52}{52} = 1$
$x_2 = \frac{27 - 25}{2 \cdot 26} = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$
Ответ: $\frac{1}{26}; 1$.

г) $\frac{3}{4}x^2 - \frac{2}{5}x = \frac{4}{5}x^2 + \frac{3}{4}$
Для избавления от дробных коэффициентов умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 5, то есть на 20:
$20 \cdot (\frac{3}{4}x^2 - \frac{2}{5}x) = 20 \cdot (\frac{4}{5}x^2 + \frac{3}{4})$
$15x^2 - 8x = 16x^2 + 15$
Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные:
$0 = 16x^2 - 15x^2 + 8x + 15$
$x^2 + 8x + 15 = 0$
Решим полученное приведенное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -8$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 15$
Подбором находим, что корни равны -3 и -5.
$x_1 = -5, x_2 = -3$
Ответ: -5; -3.