Номер 549, страница 127 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Формула корней квадратного уравнения. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 549, страница 127.

549. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 0,7x^2=1,3x+2 \\ 0,7x^2-1,3x-2=0 \\ D={(-1,3)}^2-4·0,7·(-2)=1,69+5,6=7,29>0 \\ x=\frac{1,3\pm \sqrt{7,29}}{1,4}, x=\frac{1,3\pm 2,7}{1,4} \\ x=\frac{40}{14} \text{или} x=-1 \\ x=\frac{20}{7} \\ x=2\frac{6}{7} \\ \text{Ответ:} -1; 2\frac{6}{7} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 7=0,4y+\frac{1}{5}{y}^2 /·5 \\ 35=2y+y^2 \\ {y}^2+2y-35=0 \\ D=4^2-4·1·(-35)=4+140=144 \\ y=\frac{-2\pm \sqrt{144}}{2}, y=\frac{-2\pm 12}{2} \\ y=5 \text{или} y=-7 \\ \text{Ответ:} -7; 5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} x^2-1,6x-0,36=0 \\ D={(-1,6)}^2-4·1·(-0,36)=2,56+1,44=4>0 \\ x=\frac{1,6\pm \sqrt{4}}{2}; x=\frac{1,6\pm 2}{2} \\ x=1,8 \text{или} x=-0,2 \\ \text{Ответ:} -0,2; 1,8 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} z^2-2z+2,91=0 \\ D={(-2)}^2-4·1·2,91=4-11,64=-7,64<0 \\ \text{Ответ: корней нет} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} 0,2y^2-10y+125=0 \\ D={(-10)}^2-4·0,2·125=100-100=0 \\ y=\frac{10}{0,4}; y=\frac{100}{4}; y=25 \\ \text{Ответ:} 25 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} \frac{1}{3}{x}^2+2x-9=0 /·3 \\ {x}^2+6x-27=0 \\ D=6^2-4·(-27)=36+108=144 \\ x=\frac{-6\pm \sqrt{144}}{2}, x=\frac{-6\pm 12}{2} \\ x=3 \text{или} x=-9 \\ \text{Ответ:} -9; 3 \end{gathered}$$

а) $0,7x^2 = 1,3x + 2$
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$:
$0,7x^2 - 1,3x - 2 = 0$
Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 10:
$10 \cdot (0,7x^2 - 1,3x - 2) = 10 \cdot 0$
$7x^2 - 13x - 20 = 0$
Теперь решим уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a = 7$, $b = -13$, $c = -20$.
Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-20) = 169 + 560 = 729$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$\sqrt{D} = \sqrt{729} = 27$
$x_1 = \frac{-(-13) + 27}{2 \cdot 7} = \frac{13 + 27}{14} = \frac{40}{14} = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7}$
$x_2 = \frac{-(-13) - 27}{2 \cdot 7} = \frac{13 - 27}{14} = \frac{-14}{14} = -1$
Ответ: $-1; 2\frac{6}{7}$.

б) $7 = 0,4y + \frac{1}{5}y^2$
Сначала приведем уравнение к стандартному виду. Переведем обыкновенную дробь в десятичную: $\frac{1}{5} = 0,2$.
$7 = 0,4y + 0,2y^2$
Перенесем все члены в одну сторону и упорядочим их по степеням $y$:
$0,2y^2 + 0,4y - 7 = 0$
Умножим обе части уравнения на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$2y^2 + 4y - 70 = 0$
Можно упростить уравнение, разделив все его члены на 2:
$y^2 + 2y - 35 = 0$
Решим полученное приведенное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a = 1$, $b = 2$, $c = -35$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144$
$\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$.
Найдем корни:
$y_1 = \frac{-2 + 12}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$
$y_2 = \frac{-2 - 12}{2 \cdot 1} = \frac{-14}{2} = -7$
Ответ: $-7; 5$.

в) $x^2 - 1,6x - 0,36 = 0$
Уравнение уже в стандартном виде. Чтобы работать с целыми числами, умножим обе части уравнения на 100:
$100x^2 - 160x - 36 = 0$
Все коэффициенты делятся на 4, упростим уравнение:
$25x^2 - 40x - 9 = 0$
Коэффициенты: $a = 25$, $b = -40$, $c = -9$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-9) = 1600 + 900 = 2500$
$\sqrt{D} = \sqrt{2500} = 50$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-(-40) + 50}{2 \cdot 25} = \frac{40 + 50}{50} = \frac{90}{50} = \frac{9}{5} = 1,8$
$x_2 = \frac{-(-40) - 50}{2 \cdot 25} = \frac{40 - 50}{50} = \frac{-10}{50} = -\frac{1}{5} = -0,2$
Ответ: $-0,2; 1,8$.

г) $z^2 - 2z + 2,91 = 0$
Уравнение представлено в стандартном виде. Коэффициенты: $a = 1$, $b = -2$, $c = 2,91$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2,91) = 4 - 11,64 = -7,64$
Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.

д) $0,2y^2 - 10y + 125 = 0$
Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим обе части уравнения на 5:
$5 \cdot (0,2y^2 - 10y + 125) = 5 \cdot 0$
$y^2 - 50y + 625 = 0$
Можно заметить, что левая часть является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае $a=y$, $b=25$, тогда $2ab = 2 \cdot y \cdot 25 = 50y$. Выражение совпадает.
$(y - 25)^2 = 0$
$y - 25 = 0$
$y = 25$
Также можно решить через дискриминант: $a=1, b=-50, c=625$.
$D = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 625 = 2500 - 2500 = 0$.
Так как $D=0$, уравнение имеет один корень: $y = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-50)}{2 \cdot 1} = \frac{50}{2} = 25$.
Ответ: $25$.

е) $\frac{1}{3}x^2 + 2x - 9 = 0$
Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 3:
$3 \cdot (\frac{1}{3}x^2 + 2x - 9) = 3 \cdot 0$
$x^2 + 6x - 27 = 0$
Решим полученное приведенное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a = 1$, $b = 6$, $c = -27$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144$
$\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-6 + 12}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-6 - 12}{2 \cdot 1} = \frac{-18}{2} = -9$
Ответ: $-9; 3$.