Номер 550, страница 127 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Формула корней квадратного уравнения. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 550, страница 127.

550. При каких значениях х верно равенство:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} \frac{1}{7}{x}^2=2x-7 \\ \frac{1}{7}{x}^2-2x+7=0 /·7 \\ {x}^2-14x+49=0 \\ D={(-14)}^2-4·1·49=196-196=0 \\ x=\frac{14}{2}; x=7 \\ \text{Ответ:} 7 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} x^2+\frac{6}{5}=2,6x \\ {x}^2-2,6x+\frac{6}{5}=0 /·5 \\ 5x^2-13x+6=0 \\ D={(-13)}^2-4·5·6=169-120=49>0 \\ x=\frac{13\pm \sqrt{49}}{10}, x=\frac{13\pm 7}{10} \\ x=2 \text{или} x=0,6 \\ \text{Ответ:} 0,6; 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 4x^2=7x+7,5 \\ 4x^2-7x-7,5=0 \\ D={(-7)}^2-4·4·(-7,5)=49+120=169>0 \\ x=\frac{7\pm \sqrt{169}}{8}; x=\frac{7\pm 13}{8} \\ \begin{array}{ccc}x=\frac{20}{8}& \text{или}& x=-\frac{6}{8}\\ x=\frac{5}{2}& & x=-\frac{3}{4}\\ x=2,5& & \end{array} \\ \text{Ответ:} -\frac{3}{4}; 2,5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} 6x^2-2=x \\ 6x^2-x-2=0 \\ D={(-1)}^2-4·6·(-2)=1+48=49>0 \\ x=\frac{1\pm \sqrt{49}}{12}; x=\frac{1\pm 7}{12} \\ x=\frac{8}{12} \text{или} x=-\frac{1}{2} \\ x=\frac{2}{3} \\ \text{Ответ:} -\frac{1}{2}; \frac{2}{3} \end{gathered}$$

а) Чтобы найти значения $x$, при которых верно равенство $\frac{1}{7}x^2 = 2x - 7$, приведем его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
$\frac{1}{7}x^2 - 2x + 7 = 0$
Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на 7, чтобы избавиться от дробного коэффициента:
$7 \cdot (\frac{1}{7}x^2 - 2x + 7) = 7 \cdot 0$
$x^2 - 14x + 49 = 0$
Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат разности $(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$. В нашем случае $2a=14$, значит $a=7$, и $a^2=49$, что совпадает со свободным членом. Таким образом, уравнение можно записать в виде:
$(x - 7)^2 = 0$
Это равенство верно только тогда, когда основание степени равно нулю:
$x - 7 = 0$
$x = 7$
Ответ: 7

б) Рассмотрим равенство $x^2 + \frac{6}{5} = 2,6x$.
Приведем его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$. Перенесем $2,6x$ в левую часть:
$x^2 - 2,6x + \frac{6}{5} = 0$
Представим десятичную дробь $2,6$ в виде обыкновенной: $2,6 = \frac{26}{10} = \frac{13}{5}$.
Уравнение примет вид:
$x^2 - \frac{13}{5}x + \frac{6}{5} = 0$
Умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от знаменателей:
$5x^2 - 13x + 6 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.
$a=5, b=-13, c=6$
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 6 = 169 - 120 = 49$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-13) + 7}{2 \cdot 5} = \frac{13 + 7}{10} = \frac{20}{10} = 2$
$x_2 = \frac{-(-13) - 7}{2 \cdot 5} = \frac{13 - 7}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
Ответ: 2; $\frac{3}{5}$

в) Рассмотрим равенство $4x^2 = 7x + 7,5$.
Приведем его к стандартному виду, перенеся все члены в левую часть:
$4x^2 - 7x - 7,5 = 0$
Чтобы работать с целыми коэффициентами, умножим обе части уравнения на 2:
$2 \cdot (4x^2 - 7x - 7,5) = 2 \cdot 0$
$8x^2 - 14x - 15 = 0$
Решим это уравнение через дискриминант.
$a=8, b=-14, c=-15$
$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-15) = 196 + 480 = 676$
$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-14) + 26}{2 \cdot 8} = \frac{14 + 26}{16} = \frac{40}{16} = \frac{5}{2} = 2,5$
$x_2 = \frac{-(-14) - 26}{2 \cdot 8} = \frac{14 - 26}{16} = \frac{-12}{16} = -\frac{3}{4} = -0,75$
Ответ: 2,5; -0,75

г) Рассмотрим равенство $6x^2 - 2 = x$.
Приведем его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся $x$ в левую часть:
$6x^2 - x - 2 = 0$
Это квадратное уравнение с целыми коэффициентами. Решим его с помощью дискриминанта.
$a=6, b=-1, c=-2$
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49$
$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-1) + 7}{2 \cdot 6} = \frac{1 + 7}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$
$x_2 = \frac{-(-1) - 7}{2 \cdot 6} = \frac{1 - 7}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{2}{3}$; $-\frac{1}{2}$