Номер 546, страница 126 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Формула корней квадратного уравнения. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 546, страница 126.

546. (Для работы в парах.) Решите графически уравнение:

а) x² – 2x – 1 = 0;

б) x² – 4x + 2 = 0.

1) Обсудите друг с другом, в каком виде удобно представить уравнение.

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Найдите корни каждого из уравнений с помощью формулы корней квадратного уравнения и сравните их со значениями, найденными при графическом решении.

a) x²-2x-1=0

x²=2x+1

y=x²

x	0	1	2	3	-1	-2	-3
y	0	1	4	9	1	4	9

y=2x+1

x	0	-2
y	1	-3

$$\begin{gathered} x\approx 2,4; x\approx -0,4 \\ {x}^2-2x-1=0 \\ D={(-2)}^2-4·1·(-1)=4+4=8 \\ x=\frac{2\pm \sqrt{8}}{2}; x=\frac{2\pm 2\sqrt{2}}{2} \\ x=1\pm \sqrt{2} \\ x=1+\sqrt{2}\approx 2,4 \\ x=1-\sqrt{2}\approx -0,4 \\ \text{Ответ:} \approx -0,4; \approx 2,4 \end{gathered}$$

б) x²-4x+2=0

x²=4x-2

y=x²

x	0	1	2	3	-1	-2	-3
y	0	1	4	9	1	4	9

y=2x+1

x	0	2
y	-2	6

$$\begin{gathered} x\approx 3,4; x_2\approx 0,6 \\ {x}^2-4x+2=0 \\ D={(-4)}^2-4·1·2=16-8=8>0 \\ x=\frac{4\pm \sqrt{8}}{2}; x=\frac{4\pm 2\sqrt{2}}{2} \\ x=2\pm \sqrt{2} \\ x=2+\sqrt{2}\approx 3,4 \\ x=2-\sqrt{2}\approx 0,6 \\ \text{Ответ:} \approx 0,6; \approx 3,4 \end{gathered}$$

Для графического решения квадратных уравнений, представленных в задании, удобно преобразовать их к виду, где в левой и правой частях стоят функции, графики которых легко построить.

Существует два основных подхода:

1. Построить график параболы $y = ax^2 + bx + c$ и найти точки ее пересечения с осью абсцисс (прямой $y=0$). Координаты $x$ этих точек и будут корнями уравнения.
2. Преобразовать уравнение к виду $x^2 = kx + m$ и найти абсциссы точек пересечения графиков двух более простых функций: стандартной параболы $y=x^2$ и прямой $y=kx+m$. Этот способ часто является более простым для построения вручную.

Воспользуемся вторым подходом для решения.

а) $x^2 - 2x - 1 = 0$

1. Графическое решение.

Представим уравнение в виде $x^2 = 2x + 1$. Теперь задача сводится к нахождению абсцисс точек пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = 2x + 1$.

Построим эти графики в одной системе координат:

• $y = x^2$ — это стандартная парабола, проходящая через точки (0, 0), (1, 1), (-1, 1), (2, 4), (-2, 4).
• $y = 2x + 1$ — это прямая. Для ее построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=1$ (точка (0, 1)); если $x=1$, то $y=3$ (точка (1, 3)).

Совместив графики, мы увидим две точки пересечения. Их абсциссы — это и есть корни исходного уравнения. Приблизительно они равны $x_1 \approx 2.4$ и $x_2 \approx -0.4$.

2. Решение с помощью формулы корней и сравнение.

Теперь найдем точные корни уравнения $x^2 - 2x - 1 = 0$ по формуле корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

В нашем случае коэффициенты: $a=1$, $b=-2$, $c=-1$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$.

Найдем корни: $x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.

Таким образом, точные корни уравнения: $x_1 = 1 + \sqrt{2}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{2}$.

Сравним результаты. Используя приближенное значение $\sqrt{2} \approx 1.414$, получаем:

$x_1 = 1 + \sqrt{2} \approx 1 + 1.414 = 2.414$

$x_2 = 1 - \sqrt{2} \approx 1 - 1.414 = -0.414$

Как видим, значения, найденные аналитически, очень близки к значениям, полученным при графическом решении ($2.414 \approx 2.4$ и $-0.414 \approx -0.4$).

Ответ: точные корни уравнения $x_1 = 1 + \sqrt{2}$, $x_2 = 1 - \sqrt{2}$; приближенные корни, найденные графически: $x_1 \approx 2.4$, $x_2 \approx -0.4$.

б) $x^2 - 4x + 2 = 0$

1. Графическое решение.

Представим уравнение в виде $x^2 = 4x - 2$. Задача сводится к нахождению абсцисс точек пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = 4x - 2$.

Построим графики в одной системе координат:

• $y = x^2$ — стандартная парабола.
• $y = 4x - 2$ — прямая. Для ее построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=-2$ (точка (0, -2)); если $x=1$, то $y=2$ (точка (1, 2)).

Построив графики, находим абсциссы двух точек пересечения. Приблизительные значения корней: $x_1 \approx 3.4$ и $x_2 \approx 0.6$.

2. Решение с помощью формулы корней и сравнение.

Найдем точные корни уравнения $x^2 - 4x + 2 = 0$ по формуле.

Коэффициенты: $a=1$, $b=-4$, $c=2$.

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$.

Найдем корни: $x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$.

Точные корни уравнения: $x_1 = 2 + \sqrt{2}$ и $x_2 = 2 - \sqrt{2}$.

Сравним результаты. Используя приближенное значение $\sqrt{2} \approx 1.414$, получаем:

$x_1 = 2 + \sqrt{2} \approx 2 + 1.414 = 3.414$

$x_2 = 2 - \sqrt{2} \approx 2 - 1.414 = 0.586$

Значения, найденные аналитически, очень близки к значениям, полученным при графическом решении ($3.414 \approx 3.4$ и $0.586 \approx 0.6$).

Ответ: точные корни уравнения $x_1 = 2 + \sqrt{2}$, $x_2 = 2 - \sqrt{2}$; приближенные корни, найденные графически: $x_1 \approx 3.4$, $x_2 \approx 0.6$.