Номер 545, страница 126 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Формула корней квадратного уравнения. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 545, страница 126.

545. Найдите корни уравнения и укажите их приближённые значения в виде десятичных дробей с точностью до 0,01:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 5x^2-x-1=0 \\ D={(-1)}^2-4·5·(-1)=1+20=21>0 \\ x=\frac{1\pm \sqrt{21}}{10} \\ x=\frac{1+\sqrt{21}}{10}\approx 0,56 \\ x=\frac{1-\sqrt{21}}{10}\approx -0,36 \\ \text{Ответ:} \approx -0,36; \approx 0,56 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 2x^2+7x+4=0 \\ D=7^2-4·2·4=49-32=17>0 \\ x=\frac{-7\pm \sqrt{17}}{4} \\ x=\frac{-7+\sqrt{17}}{4}\approx -0,72 \\ x=\frac{-7-\sqrt{17}}{4}\approx -2,78 \\ \text{Ответ:} \approx -0,72; \approx -2,78 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 3(y^2-2)-y=0 \\ 3y^2-y-6=0 \\ D={(-1)}^2-4·3·(-6)=1+72=73>0 \\ y=\frac{1\pm \sqrt{73}}{6} \\ y=\frac{1+\sqrt{73}}{6}\approx 1,59 \\ y=\frac{1-\sqrt{73}}{6}\approx -1,26 \\ \text{Ответ:} \approx -1,26; \approx 1,59 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} y^2+8(y-1)=3 \\ {y}^2+8y-8-3=0 \\ {y}^2+8y-11=0 \\ D=8^2-4·1·(-11)=64+44=108>0 \\ y=\frac{-8\pm \sqrt{108}}{2}; y=\frac{-8\pm \sqrt{36·3}}{2} \\ y=\frac{-8\pm 6\sqrt{3}}{2}; y=-4\pm 3\sqrt{3} \\ y=-4+3\sqrt{3}\approx 1,20 \\ y=-4-3\sqrt{3}\approx -9,20 \\ \text{Ответ:} \approx -9,20; \approx 1,20 \end{gathered}$$

а) Для решения квадратного уравнения $5x^2 - x - 1 = 0$ используем формулу корней через дискриминант. Здесь коэффициенты: $a=5$, $b=-1$, $c=-1$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 1 + 20 = 21$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{21}}{2 \cdot 5} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{10}$.
Теперь найдем их приближенные значения с точностью до 0,01. Используем приближенное значение $\sqrt{21} \approx 4.583$.
$x_1 = \frac{1 + \sqrt{21}}{10} \approx \frac{1 + 4.583}{10} = \frac{5.583}{10} = 0.5583 \approx 0.56$.
$x_2 = \frac{1 - \sqrt{21}}{10} \approx \frac{1 - 4.583}{10} = \frac{-3.583}{10} = -0.3583 \approx -0.36$.
Ответ: $x_1 \approx 0.56$, $x_2 \approx -0.36$.

б) Для уравнения $2x^2 + 7x + 4 = 0$ коэффициенты: $a=2$, $b=7$, $c=4$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 49 - 32 = 17$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 \pm \sqrt{17}}{4}$.
Теперь найдем их приближенные значения с точностью до 0,01. Используем приближенное значение $\sqrt{17} \approx 4.123$.
$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{17}}{4} \approx \frac{-7 + 4.123}{4} = \frac{-2.877}{4} \approx -0.719 \approx -0.72$.
$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{17}}{4} \approx \frac{-7 - 4.123}{4} = \frac{-11.123}{4} \approx -2.78075 \approx -2.78$.
Ответ: $x_1 \approx -0.72$, $x_2 \approx -2.78$.

в) Сначала приведем уравнение $3(y^2 - 2) - y = 0$ к стандартному виду $ay^2+by+c=0$.
$3y^2 - 6 - y = 0$
$3y^2 - y - 6 = 0$
Коэффициенты: $a=3$, $b=-1$, $c=-6$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 1 + 72 = 73$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{73}}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm \sqrt{73}}{6}$.
Теперь найдем их приближенные значения с точностью до 0,01. Используем приближенное значение $\sqrt{73} \approx 8.544$.
$y_1 = \frac{1 + \sqrt{73}}{6} \approx \frac{1 + 8.544}{6} = \frac{9.544}{6} \approx 1.5906 \approx 1.59$.
$y_2 = \frac{1 - \sqrt{73}}{6} \approx \frac{1 - 8.544}{6} = \frac{-7.544}{6} \approx -1.2573 \approx -1.26$.
Ответ: $y_1 \approx 1.59$, $y_2 \approx -1.26$.

г) Сначала приведем уравнение $y^2 + 8(y - 1) = 3$ к стандартному виду $ay^2+by+c=0$.
$y^2 + 8y - 8 = 3$
$y^2 + 8y - 11 = 0$
Коэффициенты: $a=1$, $b=8$, $c=-11$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 64 + 44 = 108$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{108}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 \pm \sqrt{36 \cdot 3}}{2} = \frac{-8 \pm 6\sqrt{3}}{2} = -4 \pm 3\sqrt{3}$.
Теперь найдем их приближенные значения с точностью до 0,01. Используем приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$.
$y_1 = -4 + 3\sqrt{3} \approx -4 + 3 \cdot 1.732 = -4 + 5.196 = 1.196 \approx 1.20$.
$y_2 = -4 - 3\sqrt{3} \approx -4 - 3 \cdot 1.732 = -4 - 5.196 = -9.196 \approx -9.20$.
Ответ: $y_1 \approx 1.20$, $y_2 \approx -9.20$.