Номер 551, страница 127 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Формула корней квадратного уравнения. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 551, страница 127.

551. Существует ли такое значение а, при котором верно равенство (если существует, то найдите его):

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 3a+0,6=9a^2+0,36 \\ 9a^2-3a+0,36-0,6=0 \\ 9a^2-3a-0,24=0 \\ D={(-3)}^2-4·9·(-0,24)=9+8,64=17,64>0 \\ a=\frac{3\pm \sqrt{17,64}}{18}, a=\frac{3\pm 4,2}{18} \\ \begin{array}{ccl}a=0,4& \text{или}& a=-\frac{1,2}{18}\\ & & a=-\frac{12}{180}\\ & & a=-\frac{1}{15}\end{array} \\ \text{Ответ:} -\frac{1}{15}; 0,4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 0,4a+1,2=0,16a^2+1,44 \\ 0,16a^2-0,4a+1,44-1,2=0 \\ 0,16a^2-0,4a+0,24=0 /·100 \\ 16a^2-40a+24=0 /:8 \\ 2a^2-5a+3=0 \\ D={(-5)}^2-4·2·3=25-24=1>0 \\ a=\frac{5\pm \sqrt{1}}{4}, a=\frac{5\pm 1}{4} \\ a=1,5 \text{или} a=1 \\ \text{Ответ:} 1; 1,5 \end{gathered}$$

а) $3a + 0,6 = 9a^2 + 0,36$

Для того чтобы определить, существует ли такое значение $a$, перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$.

$9a^2 - 3a + 0,36 - 0,6 = 0$

$9a^2 - 3a - 0,24 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант $D$ по формуле $D = B^2 - 4AC$, где $A=9$, $B=-3$, $C=-0,24$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-0,24) = 9 - 36 \cdot (-0,24) = 9 + 8,64 = 17,64$

Поскольку дискриминант $D = 17,64 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это означает, что такое значение $a$ существует.

Найдем эти значения $a$ по формуле корней квадратного уравнения: $a = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$.

$\sqrt{D} = \sqrt{17,64} = 4,2$

$a_1 = \frac{-(-3) + 4,2}{2 \cdot 9} = \frac{3 + 4,2}{18} = \frac{7,2}{18} = 0,4$

$a_2 = \frac{-(-3) - 4,2}{2 \cdot 9} = \frac{3 - 4,2}{18} = \frac{-1,2}{18} = -\frac{12}{180} = -\frac{1}{15}$

Таким образом, существуют два значения $a$, при которых равенство верно.

Ответ: да, существует; $a = 0,4$ и $a = -1/15$.

б) $0,4a + 1,2 = 0,16a^2 + 1,44$

Аналогично пункту а), приведем уравнение к стандартному квадратному виду, перенеся все члены в правую часть.

$0,16a^2 - 0,4a + 1,44 - 1,2 = 0$

$0,16a^2 - 0,4a + 0,24 = 0$

Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей.

$16a^2 - 40a + 24 = 0$

Все коэффициенты делятся на 8, разделим уравнение на 8:

$2a^2 - 5a + 3 = 0$

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = B^2 - 4AC$, где $A=2$, $B=-5$, $C=3$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$

Так как дискриминант $D = 1 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, следовательно, искомое значение $a$ существует.

Найдем корни уравнения: $a = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$.

$\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$

$a_1 = \frac{-(-5) + 1}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = 1,5$

$a_2 = \frac{-(-5) - 1}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Следовательно, существуют два значения $a$, удовлетворяющие данному равенству.

Ответ: да, существует; $a = 1,5$ и $a = 1$.