Номер 556, страница 128 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Формула корней квадратного уравнения. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 556, страница 128.

556. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков линейных функций:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} y=7x-1 \\ y=2x \\ 7x-1=2x \\ 5x=1 \\ x=\frac{1}{5}; \\ y=2·\frac{1}{5}=\frac{2}{5} \\ \text{Ответ:} \left(\frac{1}{5}; \frac{2}{5}\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} y=3x-11 \text{и} y=4 \\ 3x-11=4 \\ 3x=15 \\ x=5 \\ \text{Ответ:} (5;4) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} y=5x+8 \text{и} y=3x+2 \\ 5x+8=3x+2 \\ 5x-3x=2-8 \\ 2x=-6 \\ x=-3 \\ y=3·(-3)+2=-9+2=-7 \\ \text{Ответ:} (-3;-7) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} y=4-x \text{и} y=3x \\ 4-x=3x \\ 4x=4 \\ x=1; \\ y=3·1=3 \\ \text{Ответ:} (1;3) \end{gathered}$$

Чтобы найти координаты точки пересечения графиков двух линейных функций, не выполняя построения, необходимо решить систему уравнений, которую они образуют. В точке пересечения значения координат $x$ и $y$ для обеих функций совпадают. Поэтому можно приравнять выражения для $y$ и решить полученное уравнение относительно $x$. Найденное значение $x$ (абсцисса) затем подставляется в любое из исходных уравнений для нахождения значения $y$ (ординаты).

а) Даны функции $y = 7x - 1$ и $y = 2x$.
Приравниваем правые части уравнений: $7x - 1 = 2x$.
Решаем уравнение: $7x - 2x = 1$, откуда $5x = 1$ и $x = \frac{1}{5}$.
Подставляем найденное значение $x$ во второе уравнение: $y = 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$.
Координаты точки пересечения: $(\frac{1}{5}; \frac{2}{5})$.
Ответ: $(\frac{1}{5}; \frac{2}{5})$.

б) Даны функции $y = 3x - 11$ и $y = 4$.
Приравниваем правые части уравнений: $3x - 11 = 4$.
Решаем уравнение: $3x = 4 + 11$, откуда $3x = 15$ и $x = 5$.
Значение $y$ уже известно из второго уравнения: $y = 4$.
Координаты точки пересечения: $(5; 4)$.
Ответ: $(5; 4)$.

в) Даны функции $y = 5x + 8$ и $y = 3x + 2$.
Приравниваем правые части уравнений: $5x + 8 = 3x + 2$.
Решаем уравнение: $5x - 3x = 2 - 8$, откуда $2x = -6$ и $x = -3$.
Подставляем найденное значение $x$ во второе уравнение: $y = 3 \cdot (-3) + 2 = -9 + 2 = -7$.
Координаты точки пересечения: $(-3; -7)$.
Ответ: $(-3; -7)$.

г) Даны функции $y = 4 - x$ и $y = 3x$.
Приравниваем правые части уравнений: $4 - x = 3x$.
Решаем уравнение: $4 = 3x + x$, откуда $4 = 4x$ и $x = 1$.
Подставляем найденное значение $x$ во второе уравнение: $y = 3 \cdot 1 = 3$.
Координаты точки пересечения: $(1; 3)$.
Ответ: $(1; 3)$.