Номер 563, страница 130 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Решение задач. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 563, страница 130.

563. Площадь доски прямоугольной формы равна 4500 см². Доску распилили на две части, одна из которых представляет собой квадрат, а другая — прямоугольник. Найдите сторону получившегося квадрата, если длина отпиленного прямоугольника равна 120 см.

Пусть x(см) - сторона квадрата, тогда стороны исходного прямоугольника (x+120)см и x(см). Зная, что площадь прямоугольника равна 4500см², составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} (x+120)x=4500 \\ {x}^2+120x-4500=0 \\ D={120}^2-4·1·(-4500)=14400+18000=32400 \\ x=\frac{-120\pm \sqrt{32400}}{2}; x=\frac{-120\pm 180}{2} \end{gathered}$$

x=30 или x=-150 - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 30см

Обозначим искомую сторону квадрата через $x$ (в сантиметрах). После распиливания исходной прямоугольной доски получились две части: квадрат со стороной $x$ и прямоугольник. Из условий задачи следует, что ширина этого прямоугольника равна стороне квадрата $x$, а его длина составляет 120 см. Следовательно, исходная доска имела размеры $x$ см и $(x + 120)$ см.

Площадь исходной доски, равная 4500 см?, является произведением ее сторон. Составим уравнение:

$x(x + 120) = 4500$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 + 120x - 4500 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант ($D$):

$D = 120^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4500) = 14400 + 18000 = 32400$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-120 + \sqrt{32400}}{2} = \frac{-120 + 180}{2} = \frac{60}{2} = 30$

$x_2 = \frac{-120 - \sqrt{32400}}{2} = \frac{-120 - 180}{2} = \frac{-300}{2} = -150$

Поскольку длина стороны квадрата не может быть отрицательным числом, корень $x_2 = -150$ не удовлетворяет условию задачи. Таким образом, единственным решением является $x = 30$.

Ответ: 30 см.