Номер 570, страница 131 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Решение задач. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 570, страница 131.

570. При розыгрыше первенства школы по футболу было сыграно 36 матчей, причём каждая команда сыграла с каждой по одному разу. Сколько команд участвовало в розыгрыше?

Пусть x команд участвовало в розыгрыше, тогда x-1 раз играла каждая команда. Зная, что всего было сыграно 36 матчей и каждая команда сыграла с каждой по одному разу, составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} \frac{x(x-1)}{2}=36 \\ x(x-1)=72 \\ {x}^2-x-72=0 \\ D={(-1)}^2-4·1(-72)=1+288=289 \\ x=\frac{1\pm \sqrt{289}}{2}; x=\frac{1\pm 17}{2} \end{gathered}$$

x=9 или x=-8 - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 9 команд

Пусть $n$ — искомое количество команд, участвовавших в розыгрыше первенства. По условию, турнир проводился по круговой системе, где каждая команда сыграла с каждой другой командой ровно один раз. Это означает, что общее количество матчей равно числу сочетаний из $n$ команд по 2, так как каждый матч — это уникальная пара из двух команд.

Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по 2 имеет вид:

$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Из условия задачи мы знаем, что всего было сыграно 36 матчей. Таким образом, мы можем составить и решить уравнение:

$\frac{n(n-1)}{2} = 36$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на 2:

$n(n-1) = 36 \times 2$

$n(n-1) = 72$

Мы получили уравнение, в котором произведение двух последовательных натуральных чисел равно 72. Можно решить его подбором. Легко заметить, что такими числами являются 9 и 8:

$9 \times 8 = 72$

Отсюда следует, что большее из чисел, $n$, равно 9.

Другой способ — решить полученное уравнение как квадратное:

$n^2 - n = 72$

$n^2 - n - 72 = 0$

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{289} = 17$.

Находим корни уравнения:

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 17}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 17}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Так как количество команд не может быть отрицательным числом, корень $n = -8$ не является решением задачи. Следовательно, единственным подходящим ответом является $n = 9$.

Проверка: если в турнире участвует 9 команд, то количество матчей будет равно $\frac{9 \times (9-1)}{2} = \frac{9 \times 8}{2} = \frac{72}{2} = 36$, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 9 команд.