Номер 576, страница 131 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Решение задач. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 576, страница 131.

576. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} \frac{x(x-3)}{6}-\frac{x}{2}=0 /·6 \\ {x}^2-3x-3x=0 \\ {x}^2-6x=0 \\ x(x-6)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& x-6=0\\ & & x=6\end{array} \\ \text{Ответ:} 0; 6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} \frac{x(x+1)}{3}+\frac{8+x}{4}=2 /·12 \\ 4x(x+1)+3(8+x)=24 \\ 4x^2+4x+24+3x-24=0 \\ 4x^2+7x=0 \\ x(4x+7)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& 4x+7=0\\ & & 4x=-7\\ & & x=-\frac{7}{4}\\ & & x=-1\frac{3}{4}\end{array} \\ \text{Ответ:} -1\frac{3}{4}; 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} \frac{2}{5}x+\frac{9-x}{4}+\frac{9-x}{6}=3\frac{41}{60} /·60 \\ 12·2x+15(9-x)+10(9-x)=221 \\ 24x+135-15x+90-10x=221 \\ -x+225=221 \\ -x=221-225 \\ -x=-4 \\ x=4 \\ \text{Ответ:} 4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} 1+\frac{x-3,5}{5}+\frac{1}{2}=\frac{x}{3,5}-1 /·10 \\ 10+2(x-3,5)+5=\frac{10x}{3,5}-10 \\ 10+2x-7+5=\frac{10x}{3,5}-10 \\ 2x+8+10=\frac{10x}{3,5} \\ 2x+18=\frac{10x}{3,5} /·3,5 \\ 7x+63=10x \\ 7x-10x=-63 \\ -3x=-63 \\ x=21 \\ \text{Ответ:} 21 \end{gathered}$$

а) Дано уравнение $\frac{x(x-3)}{6} - \frac{x}{2} = 0$. Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 6: $6 \cdot \frac{x(x-3)}{6} - 6 \cdot \frac{x}{2} = 6 \cdot 0$ $x(x-3) - 3x = 0$ Раскроем скобки и упростим выражение: $x^2 - 3x - 3x = 0$ $x^2 - 6x = 0$ Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x - 6) = 0$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, $x = 0$ или $x - 6 = 0$. Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.
Ответ: $0; 6$.

б) Дано уравнение $\frac{x(x+1)}{3} + \frac{8+x}{4} = 2$. Найдем наименьший общий знаменатель дробей. НОК(3, 4) = 12. Умножим обе части уравнения на 12: $12 \cdot \frac{x(x+1)}{3} + 12 \cdot \frac{8+x}{4} = 12 \cdot 2$ $4 \cdot x(x+1) + 3 \cdot (8+x) = 24$ Раскроем скобки: $4x^2 + 4x + 24 + 3x = 24$ Приведем подобные слагаемые: $4x^2 + 7x + 24 = 24$ Перенесем 24 из правой части в левую: $4x^2 + 7x = 0$ Вынесем $x$ за скобки: $x(4x + 7) = 0$ Отсюда $x = 0$ или $4x + 7 = 0$. $x_1 = 0$ $4x = -7 \implies x_2 = -\frac{7}{4}$.
Ответ: $0; -\frac{7}{4}$.

в) Дано уравнение $\frac{2}{5}x + \frac{9-x}{4} + \frac{9-x}{6} = 3\frac{41}{60}$. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{41}{60} = \frac{3 \cdot 60 + 41}{60} = \frac{180 + 41}{60} = \frac{221}{60}$. Уравнение примет вид: $\frac{2x}{5} + \frac{9-x}{4} + \frac{9-x}{6} = \frac{221}{60}$. Наименьший общий знаменатель для 5, 4, 6 и 60 равен 60. Умножим все члены уравнения на 60: $60 \cdot \frac{2x}{5} + 60 \cdot \frac{9-x}{4} + 60 \cdot \frac{9-x}{6} = 60 \cdot \frac{221}{60}$ $12 \cdot (2x) + 15 \cdot (9-x) + 10 \cdot (9-x) = 221$ Раскроем скобки: $24x + 135 - 15x + 90 - 10x = 221$ Приведем подобные слагаемые: $(24x - 15x - 10x) + (135 + 90) = 221$ $-x + 225 = 221$ Перенесем 225 в правую часть: $-x = 221 - 225$ $-x = -4$ $x = 4$.
Ответ: $4$.

г) Дано уравнение $1 + \frac{x-3,5}{5} + \frac{1}{2} = \frac{x}{3,5} - 1$. Преобразуем десятичные дроби в обыкновенные: $3,5 = \frac{7}{2}$. Тогда $\frac{x}{3,5} = \frac{x}{7/2} = \frac{2x}{7}$. Уравнение примет вид: $1 + \frac{x-7/2}{5} + \frac{1}{2} = \frac{2x}{7} - 1$. Чтобы избавиться от всех знаменателей, найдем наименьшее общее кратное для знаменателей 5, 2, 7. НОК(5, 2, 7) = 70. Умножим обе части уравнения на 70: $70 \cdot 1 + 70 \cdot \frac{x-7/2}{5} + 70 \cdot \frac{1}{2} = 70 \cdot \frac{2x}{7} - 70 \cdot 1$. $70 + 14(x-7/2) + 35 = 10(2x) - 70$. $70 + 14x - 14 \cdot \frac{7}{2} + 35 = 20x - 70$. $70 + 14x - 49 + 35 = 20x - 70$. Приведем подобные слагаемые в левой части: $(70 - 49 + 35) + 14x = 20x - 70$. $56 + 14x = 20x - 70$. Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа - в другую: $56 + 70 = 20x - 14x$. $126 = 6x$. $x = \frac{126}{6} = 21$.
Ответ: $21$.