Номер 581, страница 135 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Теорема Виета. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 581, страница 135.

581. Найдите подбором корни уравнения:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} x^2-9x+20=0 \\ D={(-9)}^2-4·1·20=81-80=1>0 \\ {x}_1+x_2=9, x_1·x_2=20 \\ {x}_1=5; x_2=4 \\ \text{Ответ:} 4; 5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} y^2+11y-12=0 \\ D={11}^2-4·1·(-12)=121+48=169>0 \\ {y}_1+y_2=-11; y_1·y_2=-12 \\ {y}_1=-12; y_2=1 \\ \text{Ответ:} -12; 1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} y^2+y-56=0 \\ D=1^2-4·1·(-56)=1+224=225>0 \\ {y}_1+y_2=-1; y_1·y_2=-56 \\ {y}_1=-8; y_2=7 \\ \text{Ответ:} -8; 7 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} z^2-19z+88=0 \\ D={(-19)}^2-4·1·88=361-352=9>0 \\ {z}_1+z_2=19; z_1·z_2=88 \\ {z}_1=11; z_2=8 \\ \text{Ответ:} 8; 11 \end{gathered}$$

а) $x^2 - 9x + 20 = 0$

Для решения данного квадратного уравнения методом подбора воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней $x_1 + x_2$ равна $-p$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2$ равно $q$.

В нашем случае коэффициенты равны $p = -9$ и $q = 20$.Следовательно, мы ищем два числа $x_1$ и $x_2$, для которых выполняются следующие условия:

$x_1 + x_2 = -(-9) = 9$

$x_1 \cdot x_2 = 20$

Начнем подбор с произведения. Нам нужно найти два числа, произведение которых равно 20. Так как их сумма (9) положительна, то оба корня, скорее всего, положительны. Рассмотрим пары целых чисел, дающих в произведении 20:

• 1 и 20. Сумма: $1 + 20 = 21$. Не подходит.
• 2 и 10. Сумма: $2 + 10 = 12$. Не подходит.
• 4 и 5. Сумма: $4 + 5 = 9$. Подходит.

Таким образом, мы нашли числа 4 и 5, которые удовлетворяют обоим условиям.

Проверка:

Для $x = 4$: $4^2 - 9 \cdot 4 + 20 = 16 - 36 + 20 = 0$.

Для $x = 5$: $5^2 - 9 \cdot 5 + 20 = 25 - 45 + 20 = 0$.

Ответ: $x_1 = 4, x_2 = 5$.

б) $y^2 + 11y - 12 = 0$

Применим теорему Виета. Для уравнения $y^2 + py + q = 0$ с коэффициентами $p = 11$ и $q = -12$, сумма и произведение корней должны удовлетворять системе:

$y_1 + y_2 = -11$

$y_1 \cdot y_2 = -12$

Поскольку произведение корней отрицательно ($ -12 $), один корень будет положительным, а другой — отрицательным. Начнем подбирать пары целых чисел, произведение которых равно -12:

• -1 и 12. Сумма: $-1 + 12 = 11$. Не подходит.
• 1 и -12. Сумма: $1 + (-12) = -11$. Подходит.

Мы нашли пару чисел 1 и -12, которая удовлетворяет обоим условиям. Другие пары (например, 2 и -6, 3 и -4) можно не проверять.

Проверка:

Для $y = 1$: $1^2 + 11 \cdot 1 - 12 = 1 + 11 - 12 = 0$.

Для $y = -12$: $(-12)^2 + 11 \cdot (-12) - 12 = 144 - 132 - 12 = 0$.

Ответ: $y_1 = 1, y_2 = -12$.

в) $y^2 + y - 56 = 0$

Используем теорему Виета. Здесь коэффициенты $p = 1$ и $q = -56$. Искомые корни $y_1$ и $y_2$ должны удовлетворять системе:

$y_1 + y_2 = -1$

$y_1 \cdot y_2 = -56$

Произведение корней отрицательно, значит, они имеют разные знаки. Сумма корней равна -1, это означает, что отрицательный корень по модулю на 1 больше положительного.

Будем искать пары целых чисел, произведение которых равно -56. Нам нужны два числа, близкие по модулю.

• 1 и -56. Сумма: -55.
• 2 и -28. Сумма: -26.
• 4 и -14. Сумма: -10.
• 7 и -8. Сумма: $7 + (-8) = -1$. Подходит.

Корни уравнения — это числа 7 и -8.

Проверка:

Для $y = 7$: $7^2 + 7 - 56 = 49 + 7 - 56 = 0$.

Для $y = -8$: $(-8)^2 + (-8) - 56 = 64 - 8 - 56 = 0$.

Ответ: $y_1 = 7, y_2 = -8$.

г) $z^2 - 19z + 88 = 0$

Снова воспользуемся теоремой Виета. Коэффициенты $p = -19$ и $q = 88$. Для корней $z_1$ и $z_2$ справедливы соотношения:

$z_1 + z_2 = -(-19) = 19$

$z_1 \cdot z_2 = 88$

Произведение и сумма корней положительны, следовательно, оба корня — положительные числа. Подберем пары целых положительных чисел, произведение которых равно 88:

• 1 и 88. Сумма: $1 + 88 = 89$. Не подходит.
• 2 и 44. Сумма: $2 + 44 = 46$. Не подходит.
• 4 и 22. Сумма: $4 + 22 = 26$. Не подходит.
• 8 и 11. Сумма: $8 + 11 = 19$. Подходит.

Найденные числа 8 и 11 являются корнями уравнения.

Проверка:

Для $z = 8$: $8^2 - 19 \cdot 8 + 88 = 64 - 152 + 88 = 152 - 152 = 0$.

Для $z = 11$: $11^2 - 19 \cdot 11 + 88 = 121 - 209 + 88 = 209 - 209 = 0$.

Ответ: $z_1 = 8, z_2 = 11$.