Номер 578, страница 135 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Теорема Виета. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 578, страница 135.

578. Найдите сумму и произведение корней уравнения:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} x^2-37x+27=0 \\ D={(-37)}^2-4·1·27=1369-108=1261>0 \\ {x}_1+x_2=37; x_1·x_2=27 \\ \text{Ответ:} 37; 27 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} y^2+41y-371=0 \\ D={41}^2-4·1·(-371)=1681+1484=3165>0 \\ {y}_1+y_2=-41; y_1·y_2=-371 \\ \text{Ответ:} -41; -371 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} x^2-210x=0 \\ {x}_1+x_2=210; x_1·x_2=0 \\ \text{Ответ:} 210; 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} y^2-19=0 \\ {y}_1+y_2=0; y_1·y_2=-19 \\ \text{Ответ:} 0; -19 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} 2x^2-9x-10=0 \\ {x}^2-\frac{9}{2}x-\frac{10}{2}=0 \\ D={(-9)}^2-4·2·(-10)=81+80=161>0 \\ {x}_1+x_2=\frac{9}{2}=4,5; x_1·x_2=-5 \\ \text{Ответ:} 4,5; -5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} 5x^2+12x+7=0 \\ D={12}^2-4·5·7=144-140=4>0 \\ {x}^2+\frac{12}{5}x+\frac{7}{5}=0 \\ {x}_1+x_2=-\frac{12}{5}=-2,4; x_1·x_2=\frac{7}{5}=1,4 \\ \text{Ответ:} -2,4; 1,4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж)}} -z^2+z=0 \\ {z}^2-z=0 \\ {z}_1+z_2=1; z_1·z_2=0 \\ \text{Ответ:} 1; 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з)}} 3x^2-10=0 \\ {x}^2-\frac{10}{3}=0 \\ {x}_1+x_2=0; x_1·x_2=-\frac{10}{3}=-3\frac{1}{3} \\ \text{Ответ:} 0; -3\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Для нахождения суммы и произведения корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ используется теорема Виета. Согласно этой теореме, если у уравнения есть корни ($x_1$ и $x_2$), то их сумма и произведение вычисляются по формулам:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Перед применением теоремы Виета убедимся, что уравнения имеют действительные корни, проверив, что дискриминант $D = b^2 - 4ac \ge 0$.

а) Дано уравнение $x^2 - 37x + 27 = 0$.
Это приведенное квадратное уравнение, где коэффициенты: $a = 1$, $b = -37$, $c = 27$.
Дискриминант $D = (-37)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 1369 - 108 = 1261 > 0$, значит, корни существуют.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{-37}{1} = 37$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{27}{1} = 27$.
Ответ: сумма корней 37, произведение корней 27.

б) Дано уравнение $y^2 + 41y - 371 = 0$.
Коэффициенты: $a = 1$, $b = 41$, $c = -371$.
Дискриминант $D = 41^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-371) = 1681 + 1484 = 3165 > 0$, корни существуют.
Сумма корней: $y_1 + y_2 = - \frac{41}{1} = -41$.
Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = \frac{-371}{1} = -371$.
Ответ: сумма корней -41, произведение корней -371.

в) Дано уравнение $x^2 - 210x = 0$.
Это неполное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a = 1$, $b = -210$, $c = 0$.
Дискриминант $D = (-210)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 44100 > 0$, корни существуют.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{-210}{1} = 210$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{0}{1} = 0$.
Ответ: сумма корней 210, произведение корней 0.

г) Дано уравнение $y^2 - 19 = 0$.
Это неполное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a = 1$, $b = 0$, $c = -19$.
Дискриминант $D = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-19) = 76 > 0$, корни существуют.
Сумма корней: $y_1 + y_2 = - \frac{0}{1} = 0$.
Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = \frac{-19}{1} = -19$.
Ответ: сумма корней 0, произведение корней -19.

д) Дано уравнение $2x^2 - 9x - 10 = 0$.
Коэффициенты: $a = 2$, $b = -9$, $c = -10$.
Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 81 + 80 = 161 > 0$, корни существуют.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{-9}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{-10}{2} = -5$.
Ответ: сумма корней 4.5, произведение корней -5.

е) Дано уравнение $5x^2 + 12x + 7 = 0$.
Коэффициенты: $a = 5$, $b = 12$, $c = 7$.
Дискриминант $D = 12^2 - 4 \cdot 5 \cdot 7 = 144 - 140 = 4 > 0$, корни существуют.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{12}{5} = -2.4$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{7}{5} = 1.4$.
Ответ: сумма корней -2.4, произведение корней 1.4.

ж) Дано уравнение $-z^2 + z = 0$.
Это неполное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a = -1$, $b = 1$, $c = 0$.
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 0 = 1 > 0$, корни существуют.
Сумма корней: $z_1 + z_2 = - \frac{1}{-1} = 1$.
Произведение корней: $z_1 \cdot z_2 = \frac{0}{-1} = 0$.
Ответ: сумма корней 1, произведение корней 0.

з) Дано уравнение $3x^2 - 10 = 0$.
Это неполное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a = 3$, $b = 0$, $c = -10$.
Дискриминант $D = 0^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 120 > 0$, корни существуют.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{0}{3} = 0$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{-10}{3} = -3\frac{1}{3}$.
Ответ: сумма корней 0, произведение корней $-\frac{10}{3}$.