Номер 572, страница 131 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Решение задач. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 572, страница 131.

572. От прямоугольного листа картона, длина которого равна 60 см, а ширина — 40 см, отрезали по углам равные квадраты и из оставшейся части склеили открытую коробку. Найдите сторону квадрата, если известно, что площадь основания коробки равна 800 см².

Пусть x см - длина стороны квадрата, тогда (60-2x)см - длина основания коробки, (40-2x)см - ширина основания коробки. Зная, что площадь основания коробки равна 800см², составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} (60-2x)(40-2x)=800 \\ 2(30-x)·2(20-x)=800 \\ (30-x)(20-x)=200 \\ 600-30x-20x+x^2-200=0 \\ {x}^2-50x+400=0 \\ D=(-50)-4·1·400=2500-1600=900 \\ x=\frac{50\pm \sqrt{900}}{2}; x=\frac{50\pm 30}{2} \end{gathered}$$

x=40 или x=10

x=40 не удовлетворяет условию задачи 40-2x>0, 2x<40; x<20

Ответ: 10см

Обозначим сторону вырезаемого квадрата через $x$ см.

Когда из прямоугольного листа картона по углам вырезают квадраты, чтобы сложить коробку, длина и ширина основания этой коробки уменьшаются на две длины стороны вырезанного квадрата ($2x$).

Изначальная длина листа — 60 см. Длина основания получившейся коробки будет равна $60 - 2x$ см.

Изначальная ширина листа — 40 см. Ширина основания получившейся коробки будет равна $40 - 2x$ см.

Площадь основания коробки вычисляется как произведение ее длины на ширину. По условию задачи, площадь основания равна 800 см?. Можем составить уравнение:

$(60 - 2x)(40 - 2x) = 800$

Решим это уравнение. Сначала раскроем скобки:

$60 \cdot 40 - 60 \cdot 2x - 40 \cdot 2x + (2x)^2 = 800$
$2400 - 120x - 80x + 4x^2 = 800$

Приведем подобные члены и запишем уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$:

$4x^2 - 200x + 2400 - 800 = 0$
$4x^2 - 200x + 1600 = 0$

Для удобства вычислений разделим все члены уравнения на 4:

$x^2 - 50x + 400 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для нахождения корней через дискриминант. Воспользуемся дискриминантом $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 400 = 2500 - 1600 = 900$

$\sqrt{D} = \sqrt{900} = 30$

Находим корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-50) + 30}{2 \cdot 1} = \frac{50 + 30}{2} = \frac{80}{2} = 40$

$x_2 = \frac{-(-50) - 30}{2 \cdot 1} = \frac{50 - 30}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Мы получили два возможных значения для стороны квадрата: 40 см и 10 см. Проверим, оба ли они подходят по условию задачи.

Длина стороны вырезаемого квадрата не может быть больше половины меньшей стороны листа картона. Ширина листа равна 40 см. Сумма длин двух вырезаемых квадратов по ширине ($2x$) должна быть меньше 40 см. То есть, $2x < 40$, откуда $x < 20$ см.

• Корень $x_1 = 40$ не удовлетворяет условию $x < 20$. Если бы сторона квадрата была 40 см, то ширина основания коробки стала бы $40 - 2 \cdot 40 = -40$ см, что физически невозможно. Следовательно, этот корень не является решением задачи.
• Корень $x_2 = 10$ удовлетворяет условию $10 < 20$. При этом значении размеры основания коробки будут:
  Длина: $60 - 2 \cdot 10 = 40$ см.
  Ширина: $40 - 2 \cdot 10 = 20$ см.
  Площадь основания: $40 \cdot 20 = 800$ см?, что полностью соответствует условию.

Следовательно, сторона вырезанного квадрата равна 10 см.

Ответ: 10 см.