Номер 565, страница 130 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Решение задач. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 565, страница 130.

565. В прямоугольном треугольнике один из катетов на 3 см меньше гипотенузы, а другой на 6 см меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу.

Пусть x см - длина гипотенузы, тогда (x-3)см - один катет, a(x-6)см - второй катет прямоугольного треугольника используя теорему Пифагора, составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} {(x-3)}^2+{(x-6)}^2= \\ =x^2 x^2-6x+9+x^2-12x+36-x^2=0 \\ {x}^2-18x+45=0 \\ D={(-18)}^2-4·1·45=324-180=144 \\ x=\frac{18\pm \sqrt{144}}{2}; x=\frac{18\pm 12}{2} \end{gathered}$$

x=15 или x=3 - не удовлетворяет условию задачи x-6>0, x>6

Ответ: 15см

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Пифагора. Обозначим длину гипотенузы как $c$.

Согласно условию, один из катетов на 3 см меньше гипотенузы, то есть его длина равна $(c - 3)$ см. Обозначим его как $a$.
$a = c - 3$

Другой катет на 6 см меньше гипотенузы, следовательно, его длина равна $(c - 6)$ см. Обозначим его как $b$.
$b = c - 6$

Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы:
$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим в это уравнение выражения для $a$ и $b$:
$(c - 3)^2 + (c - 6)^2 = c^2$

Теперь решим полученное уравнение. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$(c^2 - 6c + 9) + (c^2 - 12c + 36) = c^2$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$2c^2 - 18c + 45 = c^2$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2c^2 - c^2 - 18c + 45 = 0$
$c^2 - 18c + 45 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, например, с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 = 324 - 180 = 144$
$c_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{18 \pm 12}{2}$

Получаем два возможных значения для $c$:
$c_1 = \frac{18 + 12}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$c_2 = \frac{18 - 12}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Теперь нужно проверить, какой из корней подходит по условию задачи. Длина стороны треугольника должна быть положительным числом.

1. Если $c = 3$, то длина второго катета $b = c - 6 = 3 - 6 = -3$ см. Длина не может быть отрицательной, поэтому этот корень не является решением задачи.

2. Если $c = 15$, то длины катетов равны $a = 15 - 3 = 12$ см и $b = 15 - 6 = 9$ см. Все длины положительны, такое решение возможно.

Таким образом, единственное подходящее значение для гипотенузы — 15 см.

Ответ: 15 см.