Номер 568, страница 130 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Решение задач. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 568, страница 130.

568. Старинная задача. Квадрат пятой части обезьян, уменьшенной на 3, спрятался в гроте. Одна обезьяна, влезшая на дерево, была видна. Сколько было обезьян?

Пусть было x обезьян, тогда ${\left(\frac{1}{5}x-3\right)}^2$ обезьян спряталась в гроте. Зная, что одна обезьяна влезла на дерево, составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} {\left(\frac{1}{5}x-3\right)}^2+1=x \\ \frac{1}{25}{x}^2-\frac{6}{5}x+9+1-x=0 \\ {x}^2-55x+250=0 \\ D={(-55)}^2-4·1·250=3025-1000=2025 \\ x=\frac{55\pm \sqrt{2025}}{2}; x=\frac{55\pm 45}{2} \end{gathered}$$

x=50 или x=5 - не удовлетворяет условию $\frac{1}{5}x-3>0; \frac{1}{5}x>3; x>15$

Ответ: 50 обезьян

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — общее количество обезьян.

Согласно условию, "квадрат пятой части обезьян, уменьшенной на 3, спрятался в гроте". Пятая часть обезьян — это $\frac{x}{5}$. Уменьшенная на 3, эта величина будет равна $\frac{x}{5} - 3$. Квадрат этого выражения — $(\frac{x}{5} - 3)^2$. Это количество обезьян в гроте.

Еще одна обезьяна была видна на дереве. Таким образом, общее число обезьян $x$ складывается из числа обезьян в гроте и обезьяны на дереве.

Составим уравнение на основе этих данных:
$x = (\frac{x}{5} - 3)^2 + 1$

Теперь решим это уравнение. Сначала перенесем 1 в левую часть:
$x - 1 = (\frac{x}{5} - 3)^2$
Раскроем скобки в правой части по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$x - 1 = (\frac{x}{5})^2 - 2 \cdot \frac{x}{5} \cdot 3 + 3^2$
$x - 1 = \frac{x^2}{25} - \frac{6x}{5} + 9$
Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на 25:
$25(x - 1) = 25(\frac{x^2}{25} - \frac{6x}{5} + 9)$
$25x - 25 = x^2 - 30x + 225$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - 30x - 25x + 225 + 25 = 0$
$x^2 - 55x + 250 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-55)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 250 = 3025 - 1000 = 2025$
Корни уравнения находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{55 + \sqrt{2025}}{2 \cdot 1} = \frac{55 + 45}{2} = \frac{100}{2} = 50$
$x_2 = \frac{55 - \sqrt{2025}}{2 \cdot 1} = \frac{55 - 45}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Мы получили два математически верных корня. Теперь нужно проверить, какой из них подходит по смыслу задачи.

1. Если всего было $x = 50$ обезьян.
Пятая часть обезьян: $50 / 5 = 10$.
Уменьшаем на 3: $10 - 3 = 7$. Это число положительное, что соответствует реальному количеству обезьян.
Количество обезьян в гроте: $7^2 = 49$.
Общее количество: $49$ (в гроте) $+ 1$ (на дереве) $= 50$. Это решение подходит.

2. Если всего было $x = 5$ обезьян.
Пятая часть обезьян: $5 / 5 = 1$.
Уменьшаем на 3: $1 - 3 = -2$. Количество обезьян не может быть отрицательным числом. Следовательно, это решение не имеет физического смысла и должно быть отброшено.

Таким образом, единственное подходящее решение — 50 обезьян.
Ответ: 50 обезьян.