Номер 575, страница 131 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Решение задач. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 575, страница 131.

575. Найдите значение выражения:

$$\begin{gathered} \frac{{(\sqrt{a}+\sqrt{b})}^2-b}{2\sqrt{ab}+2b+1}=\frac{a+2\sqrt{ab}+b-b}{2\sqrt{ab}+2b+1}= \\ =\frac{a+2\sqrt{ab}}{2\sqrt{ab}+2b+1} \end{gathered}$$

при a=5, b=2

$\frac{5+2\sqrt{5·2}}{2\sqrt{5·2}+2·2+1}=\frac{5+2\sqrt{10}}{2\sqrt{10}+5}=1$

Для того чтобы найти значение выражения, сначала упростим его, а затем подставим заданные значения переменных $a=5$ и $b=2$.

Упростим числитель дроби $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 - b$.
Для этого воспользуемся формулой сокращенного умножения "квадрат суммы": $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 + 2 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b$.
Теперь подставим это в выражение для числителя:
$(a + 2\sqrt{ab} + b) - b = a + 2\sqrt{ab}$.

После упрощения числителя исходное выражение принимает вид:
$\frac{a + 2\sqrt{ab}}{2\sqrt{ab} + 2b + 1}$

Теперь подставим значения $a = 5$ и $b = 2$ в полученное выражение.
Вычислим значение числителя:
$a + 2\sqrt{ab} = 5 + 2\sqrt{5 \cdot 2} = 5 + 2\sqrt{10}$.
Вычислим значение знаменателя:
$2\sqrt{ab} + 2b + 1 = 2\sqrt{5 \cdot 2} + 2 \cdot 2 + 1 = 2\sqrt{10} + 4 + 1 = 5 + 2\sqrt{10}$.

Найдем значение всей дроби, разделив полученный числитель на знаменатель:
$\frac{5 + 2\sqrt{10}}{5 + 2\sqrt{10}} = 1$.

Ответ: 1