Номер 582, страница 135 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Теорема Виета. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 582, страница 135.

582. Найдите подбором корни уравнения:

а) x² + 16x + 63 = 0;

б) z² + 2z – 48 = 0.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} x^2+16x+63=0 \\ D={16}^2-4·1·63=256-252=4>0 \\ {x}_1+x_2=-16; x_1·x_2=63 \\ {x}_1=-9; x_2=-7 \\ \text{Ответ:} -9; -7 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} z^2+2z-48=0 \\ D=2^2-4·1·(-48)=4+192=196>0 \\ {z}_1+z_2=-2; z_1·z_2=-48 \\ {z}_1=-8; z_2=6 \\ \text{Ответ:} -8; 6 \end{gathered}$$

а) $x^2 + 16x + 63 = 0$

Для нахождения корней данного приведенного квадратного уравнения воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, для уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней $x_1$ и $x_2$ равна второму коэффициенту с противоположным знаком ($-p$), а их произведение равно свободному члену ($q$).

В нашем уравнении коэффициенты равны $p = 16$ и $q = 63$. Таким образом, мы ищем два числа, которые удовлетворяют системе уравнений:

$x_1 + x_2 = -16$

$x_1 \cdot x_2 = 63$

Подберем целые числа, произведение которых равно 63. Поскольку произведение положительное ($63$), а сумма отрицательная ($-16$), оба корня должны быть отрицательными.

Рассмотрим пары отрицательных множителей числа 63 и проверим их сумму:

Пара $-1$ и $-63$: сумма $-1 + (-63) = -64$. Не подходит.

Пара $-3$ и $-21$: сумма $-3 + (-21) = -24$. Не подходит.

Пара $-7$ и $-9$: сумма $-7 + (-9) = -16$. Эта пара чисел удовлетворяет обоим условиям.

Следовательно, корнями уравнения являются $x_1 = -7$ и $x_2 = -9$.

Выполним проверку:

Для $x = -7$: $(-7)^2 + 16(-7) + 63 = 49 - 112 + 63 = 0$.

Для $x = -9$: $(-9)^2 + 16(-9) + 63 = 81 - 144 + 63 = 0$.

Оба корня найдены верно.

Ответ: $x_1 = -7$, $x_2 = -9$.

б) $z^2 + 2z - 48 = 0$

Воспользуемся теоремой Виета и для этого уравнения. Здесь коэффициенты равны $p = 2$ и $q = -48$.

Ищем два числа, $z_1$ и $z_2$, для которых выполняются условия:

$z_1 + z_2 = -2$

$z_1 \cdot z_2 = -48$

Поскольку произведение корней отрицательно ($-48$), корни должны иметь разные знаки. Поскольку их сумма отрицательна ($-2$), отрицательный корень должен иметь больший модуль.

Подберем пары множителей числа $-48$ и проверим их сумму:

Пара $1$ и $-48$: сумма $1 + (-48) = -47$. Не подходит.

Пара $2$ и $-24$: сумма $2 + (-24) = -22$. Не подходит.

Пара $3$ и $-16$: сумма $3 + (-16) = -13$. Не подходит.

Пара $4$ и $-12$: сумма $4 + (-12) = -8$. Не подходит.

Пара $6$ и $-8$: сумма $6 + (-8) = -2$. Эта пара чисел удовлетворяет обоим условиям.

Таким образом, корнями уравнения являются $z_1 = 6$ и $z_2 = -8$.

Выполним проверку:

Для $z = 6$: $6^2 + 2(6) - 48 = 36 + 12 - 48 = 0$.

Для $z = -8$: $(-8)^2 + 2(-8) - 48 = 64 - 16 - 48 = 0$.

Оба корня найдены верно.

Ответ: $z_1 = 6$, $z_2 = -8$.