Номер 586, страница 135 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Теорема Виета. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 586, страница 135.

586. Один из корней уравнения 10x² – 33x + c = 0 равен 5,3. Найдите другой корень и коэффициент с.

$$\begin{gathered} 10x^2-33x+c=0, x_1=5,3 \\ {x}^2-3,3x+\frac{c}{10}=0 \\ {x}_1+x_2=3,3; \\ 5,3+x_2=3,3; \\ {x}_2=-2 \\ {x}_1·x_2=\frac{c}{10}; \\ 5,3·(-2)=\frac{c}{10}; \\ -10,6=\frac{c}{10}; \\ c=-106 \end{gathered}$$

Ответ: -2; с=-106

Дано квадратное уравнение $10x^2 - 33x + c = 0$. В этом уравнении коэффициенты равны $a=10$, $b=-33$. Один из корней, обозначим его $x_1$, равен $5,3$. Для нахождения второго корня ($x_2$) и коэффициента $c$ воспользуемся теоремой Виета.

Согласно теореме Виета для квадратного уравнения вида $ax^2+bx+c=0$ сумма и произведение корней связаны с коэффициентами следующими соотношениями:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Нахождение другого корня
Используем формулу для суммы корней, подставив в неё известные значения $a=10$ и $b=-33$:
$x_1 + x_2 = -\frac{-33}{10} = 3,3$
Теперь подставим известный корень $x_1 = 5,3$ в полученное равенство и найдем $x_2$:
$5,3 + x_2 = 3,3$
$x_2 = 3,3 - 5,3$
$x_2 = -2$
Ответ: другой корень уравнения равен -2.

Нахождение коэффициента c
Используем формулу для произведения корней. Подставим в неё известные значения $a=10$, $x_1 = 5,3$ и найденный ранее корень $x_2 = -2$:
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
$5,3 \cdot (-2) = \frac{c}{10}$
$-10,6 = \frac{c}{10}$
Отсюда выразим и найдем $c$:
$c = -10,6 \cdot 10$
$c = -106$
Ответ: коэффициент $c$ равен -106.