Номер 591, страница 136 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Теорема Виета. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 591, страница 136.

591. (Для работы в парах.) Не решая уравнения, выясните, имеет ли оно корни, и если имеет, то определите их знаки:

1) Сформулируйте теорему, на основании которой можно определить знаки корней.

2) Распределите, кто выполняет задания а), в), д), а кто — задания б), г), е), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания. Исправьте ошибки, если они допущены.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} x^2+7x-1=0 \\ D=7^2-4·1·(-1)=49+4=53>0 \\ {x}_1+x_2=-7 \\ {x}_1·x_2=-1<0 \end{gathered}$$

Ответ: уравнение имеет корни разных знаков

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} x^2-7x+1=0 \\ D={(-7)}^2-4·1·1=49-4=45>0 \\ {x}_1+x_2=7>0 \\ {x}_1·x_2=1>0 \end{gathered}$$

Ответ: уравнение имеет корни, где x₁>0, x₂>0

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 5x^2+17x+16=0 \\ D={17}^2-4·5·16=289-320=-31<0 \end{gathered}$$

Ответ: нет корней

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} 19x^2-23x+5=0 \\ {x}^2-\frac{23}{19}x+\frac{5}{19}=0 \\ D={(-23)}^2-4·19·5=529-380=149>0 \\ {x}_1+x_2=\frac{23}{19} \\ {x}_1·x_2=\frac{5}{19} \end{gathered}$$

Ответ: уравнение имеет корни, где x₁>0, x₂>0

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} 2x^2+5\sqrt{3}x+11=0 \\ D={\left(5\sqrt{3}\right)}^2-4·2·11=75-88=-13<0 \end{gathered}$$

Ответ: нет корней

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} 11x^2-9x+7-5\sqrt{2}=0 \\ D={(-9)}^2-4·11·(7-5\sqrt{2})=81-308+220\sqrt{2}= \\ =220\sqrt{2}-227\approx 84>0 \\ {x}^2-\frac{9}{11}x+\frac{7-5\sqrt{2}}{11}=0 \\ {x}_1+x_2=\frac{9}{11} \\ {x}_1·x_2=\frac{7-5\sqrt{2}}{11}=\frac{\sqrt{49}-\sqrt{50}}{11}<0 \end{gathered}$$

Ответ: уравнение имеет корни разных знаков

Знаки корней можно определить на основании теоремы Виета: сумма корней приведённого квадратного уравнения равна -p=x₁+x₂, а произведение корней равно $q=x_1·x_2$

1) Сформулируйте теорему, на основании которой можно определить знаки корней.

Для определения знаков корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ используется теорема Виета и её следствия, в сочетании с анализом дискриминанта.

Сначала необходимо убедиться в наличии действительных корней с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Если $D \ge 0$, то корни существуют, и их знаки можно определить по следующим правилам (следствия из теоремы Виета):

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения.

• Правило 1: Если свободный член $c$ и старший коэффициент $a$ имеют разные знаки (то есть произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} < 0$), то уравнение имеет два корня с разными знаками (один положительный, другой отрицательный).
• Правило 2: Если свободный член $c$ и старший коэффициент $a$ имеют одинаковые знаки (то есть произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} > 0$), то оба корня имеют одинаковый знак. В этом случае знак определяется по второму коэффициенту $b$:
• Если коэффициент $b$ имеет знак, противоположный знаку $a$ (то есть сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} > 0$), то оба корня положительные.
• Если коэффициент $b$ имеет тот же знак, что и $a$ (то есть сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} < 0$), то оба корня отрицательные.

Ответ: Для определения знаков корней используется теорема Виета и её следствия, позволяющие по знакам коэффициентов уравнения судить о знаках корней, при условии, что дискриминант неотрицателен.

2) Распределите, кто выполняет задания а), в), д), а кто — задания б), г), е), и выполните их.

Так как задача решается в данном случае одним исполнителем, все пункты будут выполнены последовательно.

а) $x^2 + 7x - 1 = 0$

1. Проверка наличия корней. Коэффициенты: $a=1, b=7, c=-1$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 49 + 4 = 53$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Определение знаков корней.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-1}{1} = -1$.
Поскольку произведение отрицательно ($<0$), корни имеют разные знаки.

Ответ: Уравнение имеет два корня с разными знаками (один положительный, другой отрицательный).

б) $x^2 - 7x + 1 = 0$

1. Проверка наличия корней. Коэффициенты: $a=1, b=-7, c=1$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 49 - 4 = 45$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Определение знаков корней.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{1} = 1$.
Поскольку произведение положительно ($>0$), корни имеют одинаковый знак.
Сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-7}{1} = 7$.
Поскольку сумма положительна ($>0$), оба корня являются положительными.

Ответ: Уравнение имеет два положительных корня.

в) $5x^2 + 17x + 16 = 0$

1. Проверка наличия корней. Коэффициенты: $a=5, b=17, c=16$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 17^2 - 4 \cdot 5 \cdot 16 = 289 - 320 = -31$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Уравнение не имеет действительных корней.

г) $19x^2 - 23x + 5 = 0$

1. Проверка наличия корней. Коэффициенты: $a=19, b=-23, c=5$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 19 \cdot 5 = 529 - 380 = 149$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Определение знаков корней.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{5}{19}$.
Поскольку произведение положительно ($>0$), корни имеют одинаковый знак.
Сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-23}{19} = \frac{23}{19}$.
Поскольку сумма положительна ($>0$), оба корня являются положительными.

Ответ: Уравнение имеет два положительных корня.

д) $2x^2 + 5\sqrt{3}x + 11 = 0$

1. Проверка наличия корней. Коэффициенты: $a=2, b=5\sqrt{3}, c=11$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (5\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11 = 25 \cdot 3 - 88 = 75 - 88 = -13$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Уравнение не имеет действительных корней.

е) $11x^2 - 9x + 7 - 5\sqrt{2} = 0$

1. Проверка наличия корней. Коэффициенты: $a=11, b=-9, c=7-5\sqrt{2}$.
Сначала оценим знак $c = 7 - 5\sqrt{2}$. Сравним $7$ и $5\sqrt{2}$. Возведем в квадрат: $7^2 = 49$ и $(5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50$. Так как $49 < 50$, то $7 < 5\sqrt{2}$, следовательно, $c = 7 - 5\sqrt{2} < 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (7 - 5\sqrt{2}) = 81 - 44(7 - 5\sqrt{2}) = 81 - 308 + 220\sqrt{2} = 220\sqrt{2} - 227$.
Оценим знак $D$. Сравним $220\sqrt{2}$ и $227$. Возведем в квадрат: $(220\sqrt{2})^2 = 48400 \cdot 2 = 96800$ и $227^2 = 51529$. Так как $96800 > 51529$, то $220\sqrt{2} > 227$, следовательно, $D > 0$. Уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Определение знаков корней.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{7 - 5\sqrt{2}}{11}$.
Как мы установили ранее, $c = 7 - 5\sqrt{2} < 0$, поэтому и все произведение $\frac{c}{a} < 0$.
Поскольку произведение отрицательно, корни имеют разные знаки.

Ответ: Уравнение имеет два корня с разными знаками (один положительный, другой отрицательный).

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания. Исправьте ошибки, если они допущены.

Этот пункт предназначен для работы в паре и самопроверки. Все вышеприведенные решения были проверены. Логика рассуждений основана на анализе знака дискриминанта для определения наличия корней и на следствиях из теоремы Виета для определения знаков корней. Все вычисления выполнены корректно.

Ответ: Ошибок в решениях не обнаружено.