Номер 595, страница 136 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Теорема Виета. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 595, страница 136.

595. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 8 : 15, а гипотенуза равна 6,8 м. Найдите площадь треугольника.

Пусть x м - величина одной части, тогда 8x(м) и 15x(м) - катеты прямоугольного треугольника.

Зная, что гипотенуза равна 6,8м, по теореме Пифагора составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} {\left(8x\right)}^2+{\left(15x\right)}^2=6,8^2 \\ 64x^2+225x^2=46,24 \\ 289x^2=46,24 \\ {x}^2=0,16 \end{gathered}$$

x=0,4 или x=-0,4 - не удовлетворяет условию задачи x>0

8x=8*0,4=3,2(м) - один катет

15x=15*0,4=6(м) - второй катет

$S_{∆}=\frac{1}{2}·6·3,2=9,6\left({\text{м}}^2\right)$

Ответ: 9,6м²

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b. Согласно условию, их отношение составляет 8 : 15. Мы можем выразить длины катетов через коэффициент пропорциональности $x$:

$a = 8x$

$b = 15x$

Гипотенуза $c$ равна 6,8 м. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим наши выражения для $a$, $b$ и значение $c$ в уравнение:

$(8x)^2 + (15x)^2 = (6,8)^2$

$64x^2 + 225x^2 = 46,24$

$289x^2 = 46,24$

Теперь решим уравнение относительно $x$:

$x^2 = \frac{46,24}{289}$

$x^2 = 0,16$

$x = \sqrt{0,16} = 0,4$

Теперь мы можем найти длины катетов:

$a = 8x = 8 \cdot 0,4 = 3,2$ м

$b = 15x = 15 \cdot 0,4 = 6,0$ м

Площадь прямоугольного треугольника ($S$) равна половине произведения его катетов:

$S = \frac{1}{2}ab$

$S = \frac{1}{2} \cdot 3,2 \cdot 6,0 = 1,6 \cdot 6,0 = 9,6$ м²

Ответ: 9,6 м².