Номер 5, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 5, страница 137.

5. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Виета.

Теорема, обратная теореме Виета:

Если числа m и n таковы, что их сумма равна -р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения $x^2+px+q=0.$

По условию m+n=-p, а mn=q. Значит, уравнение $x^2+px+q=0$ можно записать в виде
$x^2-(m+n)x+mn=0.$

Подставив в это уравнение вместо переменной х число m, получим
$m^2-(m+n)m+mn=m^2-m^2-mn+mn=0$

Значит, число m является корнем уравнения.
Аналогично можно показать, что число n также является корнем уравнения.

Формулировка теоремы, обратной теореме Виета

Если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что их сумма $x_1 + x_2 = -p$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = q$, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Доказательство

По условию теоремы, для чисел $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие равенства:

$p = -(x_1 + x_2)$

$q = x_1 \cdot x_2$

Подставим эти выражения для коэффициентов $p$ и $q$ в левую часть уравнения $x^2 + px + q = 0$:

$x^2 + (-(x_1 + x_2))x + x_1x_2 = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2$

Теперь преобразуем полученное выражение, раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые, чтобы разложить многочлен на множители:

$x^2 - x_1x - x_2x + x_1x_2 = (x^2 - x_1x) - (x_2x - x_1x_2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x(x - x_1) - x_2(x - x_1)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x - x_1)$:

$(x - x_1)(x - x_2)$

Таким образом, исходное уравнение $x^2 + px + q = 0$ эквивалентно уравнению:

$(x - x_1)(x - x_2) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю в том и только в том случае, если хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, корнями этого уравнения являются значения $x$, при которых $x - x_1 = 0$ или $x - x_2 = 0$.

Отсюда получаем, что $x = x_1$ и $x = x_2$ являются корнями данного уравнения.

Теорема доказана.

Ответ: Утверждение доказано. Если существуют числа $x_1$ и $x_2$, сумма которых равна второму коэффициенту квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$, взятому с противоположным знаком ($-p$), а их произведение равно свободному члену ($q$), то эти числа являются корнями данного уравнения.