Номер 603, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. Квадратный трёхчлен и его корни. § 8. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 603, страница 139.

603. Найдите корни квадратного трёхчлена:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 10x^2+5x-5=0 \\ D=5^2-4·10·(-5)=25+200=225 \\ x=\frac{-5\pm \sqrt{225}}{20}, x=\frac{-5\pm 15}{20} \\ x=\frac{1}{2} \text{или} x=-1 \\ \text{Ответ:} -1; \frac{1}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} -2x^2+12x-18=0 \\ D={12}^2-4·(-2)·(-18)=144-144=0 \\ x=\frac{-12}{-4}, x=3 \\ \text{Ответ:} 3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} x^2-2x-4=0 \\ D={(-2)}^2-4·1·(-4)=4+16=20 \\ x=\frac{2\pm \sqrt{20}}{2}; x=\frac{2\pm 2\sqrt{5}}{2} \\ {x}_1=1+\sqrt{5}; x_2=1-\sqrt{5} \\ \text{Ответ:} 1+\sqrt{5}; 1-\sqrt{5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} 12x^2-12=0 \\ 12(x^2-1)=0 \\ (x-1)(x+1)=0 \\ \begin{array}{lcl}x-1=0& \text{или}& x+1=0\\ x=1& & x=-1\end{array} \\ \text{Ответ:} -1; 1 \end{gathered}$$

а)

Чтобы найти корни квадратного трехчлена $10x^2 + 5x - 5$, нужно приравнять его к нулю и решить полученное квадратное уравнение:

$10x^2 + 5x - 5 = 0$

Для упрощения вычислений, разделим все члены уравнения на 5:

$2x^2 + x - 1 = 0$

Теперь найдем корни с помощью стандартной формулы корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

В данном уравнении коэффициенты равны: $a = 2$, $b = 1$, $c = -1$.

Вычислим дискриминант:

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{9} = 3$.

Теперь найдем сами корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$

Ответ: -1; $\frac{1}{2}$.

---

б)

Чтобы найти корни трехчлена $-2x^2 + 12x - 18$, приравняем его к нулю:

$-2x^2 + 12x - 18 = 0$

Разделим все члены уравнения на -2 для упрощения:

$x^2 - 6x + 9 = 0$

Можно заметить, что левая часть уравнения является формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x - 3)^2 = 0$

Из этого уравнения следует, что $x - 3 = 0$, следовательно, корень один:

$x = 3$

Альтернативно, можно было вычислить дискриминант для уравнения $x^2 - 6x + 9 = 0$ ($a=1, b=-6, c=9$):

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$

Так как $D=0$, уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня), который находится по формуле $x = \frac{-b}{2a}$:

$x = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

Ответ: 3.

---

в)

Чтобы найти корни трехчлена $x^2 - 2x - 4$, приравняем его к нулю:

$x^2 - 2x - 4 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение с коэффициентами $a=1, b=-2, c=-4$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Вычислим корень из дискриминанта и упростим его: $\sqrt{D} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-(-2) \pm 2\sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Таким образом, корни уравнения:

$x_1 = 1 + \sqrt{5}$

$x_2 = 1 - \sqrt{5}$

Ответ: $1 - \sqrt{5}$; $1 + \sqrt{5}$.

---

г)

Чтобы найти корни трехчлена $12x^2 - 12$, приравняем его к нулю:

$12x^2 - 12 = 0$

Это неполное квадратное уравнение, так как коэффициент при $x$ равен нулю ($b=0$).

Разделим обе части уравнения на 12:

$x^2 - 1 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$x^2 = 1$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{1}$

Таким образом, получаем два корня:

$x_1 = 1$, $x_2 = -1$

Также можно было решить, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 1^2 = (x - 1)(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, откуда $x-1=0$ или $x+1=0$, что дает те же корни $x=1$ и $x=-1$.

Ответ: -1; 1.