Страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

598. Какие из чисел –2, –1, 0, 2, 3 являются корнями многочлена x³ – 3x² – 4x + 12?

$x^3-3x^2-4x+12$

x=-2; ${(-2)}^3-3·{(-2)}^2-4·(-2)+12=-8-12+8+12=0$

x=-1; ${(-1)}^3-3·{(-1)}^2-4·(-1)+12=-1-3+4+12=12$

x=0; $0^3-3·0^2-4·0+12=12$

x=2; $2^3-3·2^2-4·2+12=8-12-8+12=0$

x=3; $3^3-3·3^2-4·3+12=27-27-12+12=0$

Ответ: -2; 2; 3

Чтобы определить, какие из предложенных чисел являются корнями многочлена $x^3 - 3x^2 - 4x + 12$, необходимо поочередно подставить каждое из этих чисел в многочлен вместо переменной $x$. Если в результате вычислений получится 0, то данное число является корнем многочлена.

-2

Проверим число -2. Подставим $x = -2$ в многочлен:

$(-2)^3 - 3(-2)^2 - 4(-2) + 12 = -8 - 3 \cdot 4 + 8 + 12 = -8 - 12 + 8 + 12 = 0$.

Поскольку значение многочлена равно 0, число -2 является его корнем.

Ответ: является.

-1

Проверим число -1. Подставим $x = -1$ в многочлен:

$(-1)^3 - 3(-1)^2 - 4(-1) + 12 = -1 - 3 \cdot 1 + 4 + 12 = -1 - 3 + 4 + 12 = 12$.

Поскольку значение многочлена не равно 0 ($12 \neq 0$), число -1 не является его корнем.

Ответ: не является.

0

Проверим число 0. Подставим $x = 0$ в многочлен:

$0^3 - 3 \cdot 0^2 - 4 \cdot 0 + 12 = 0 - 0 - 0 + 12 = 12$.

Поскольку значение многочлена не равно 0 ($12 \neq 0$), число 0 не является его корнем.

Ответ: не является.

2

Проверим число 2. Подставим $x = 2$ в многочлен:

$2^3 - 3 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 + 12 = 8 - 3 \cdot 4 - 8 + 12 = 8 - 12 - 8 + 12 = 0$.

Поскольку значение многочлена равно 0, число 2 является его корнем.

Ответ: является.

3

Проверим число 3. Подставим $x = 3$ в многочлен:

$3^3 - 3 \cdot 3^2 - 4 \cdot 3 + 12 = 27 - 3 \cdot 9 - 12 + 12 = 27 - 27 - 12 + 12 = 0$.

Поскольку значение многочлена равно 0, число 3 является его корнем.

Ответ: является.

599. Найдите корни многочлена:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} x^2-7x=0 \\ x(x-7)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& x-7=0\\ & & x=7\end{array} \\ \text{Ответ:} 0; 7 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 2x-5=0 \\ 2x=5 \\ x=2,5 \\ \text{Ответ:} 2,5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} y^3-4y=0 \\ y(y^2-4)=0 \\ \begin{array}{ccll}y=0& \text{или}& y^2-4=0& \\ & & (y-2)(y+2)=0& \\ & & y-2=0 \text{или}& y+2=0\\ & & y=2& y=-2\end{array} \\ \text{Ответ:} -2; 0; 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} y^4-16=0 \\ (y^2-4)(y^2+4)=0 \\ \begin{array}{lcl}{y}^2-4=0& \text{или}& y^2+4=0\\ y^2=4& & y^2=-4\\ y_1=2& & \text{корней нет}\\ y_2=-2& & \end{array} \\ \text{Ответ:} -2; 2 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти корни многочлена, необходимо приравнять его к нулю и решить полученное уравнение.

$x^2 - 7x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 7) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, имеем два случая:

$x_1 = 0$

или

$x - 7 = 0$, откуда $x_2 = 7$.

Корнями многочлена являются 0 и 7.

Ответ: 0; 7.

б) Приравняем многочлен к нулю:

$2x - 5 = 0$

Это линейное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$2x = 5$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x = 5/2$

$x = 2,5$

Корень многочлена равен 2,5.

Ответ: 2,5.

в) Приравняем многочлен к нулю:

$y^3 - 4y = 0$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(y^2 - 4) = 0$

Выражение в скобках представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$y(y - 2)(y + 2) = 0$

Приравняем каждый из множителей к нулю:

$y_1 = 0$

$y - 2 = 0 \implies y_2 = 2$

$y + 2 = 0 \implies y_3 = -2$

Корнями многочлена являются -2, 0 и 2.

Ответ: -2; 0; 2.

г) Приравняем многочлен к нулю:

$y^4 - 16 = 0$

Это выражение можно представить как разность квадратов $(y^2)^2 - 4^2$ и разложить на множители:

$(y^2 - 4)(y^2 + 4) = 0$

Первый множитель $(y^2 - 4)$ также является разностью квадратов и раскладывается на $(y-2)(y+2)$.

$(y - 2)(y + 2)(y^2 + 4) = 0$

Рассмотрим каждый множитель:

1) $y - 2 = 0 \implies y_1 = 2$

2) $y + 2 = 0 \implies y_2 = -2$

3) $y^2 + 4 = 0 \implies y^2 = -4$. Это уравнение не имеет действительных корней, поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен ($y^2 \ge 0$).

Таким образом, действительными корнями многочлена являются -2 и 2.

Ответ: -2; 2.

600. Имеет ли корни многочлен:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} x^2+1=0 \\ {x}^2=-1 \\ \text{Ответ: нет корней} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} x^3-27=0 \\ (x-3)(x^2+3x+9)=0 \\ \begin{array}{lcl}x-3=0& \text{или}& x^2+3x+9=0\\ x=3& & D=3^2-4·1·9=9-36=-27<0\end{array} \\ \text{Ответ:} 3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} -2y^6-1=0 \\ -(2y^6+1)=0 \\ 2y^6=-1 \\ {y}^6=-\frac{1}{2} \\ \text{Ответ: нет корней} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} y^4+3y^2+7=0 \\ {y}^2=t, t\ge 0, y^4=t^2 \\ {t}^2+3t+7=0 \\ D=3^2-4·1·7=9-28=-19<0 \\ \text{Ответ: нет корней} \end{gathered}$$

а) $x^2 + 1$
Чтобы многочлен имел корни, должно существовать такое значение переменной $x$, при котором значение многочлена равно нулю. Проверим, имеет ли уравнение $x^2 + 1 = 0$ действительные решения.
$x^2 + 1 = 0$
$x^2 = -1$
Квадрат любого действительного числа ($x$) не может быть отрицательным, то есть $x^2 \ge 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, не существует такого действительного числа, квадрат которого равен -1.
Можно также заметить, что $x^2 \ge 0$, а значит $x^2 + 1 \ge 1$. Так как значение многочлена всегда больше или равно 1, оно никогда не может быть равно нулю.
Ответ: многочлен не имеет корней.

б) $x^3 - 27$
Приравняем многочлен к нулю, чтобы найти его корни:
$x^3 - 27 = 0$
$x^3 = 27$
Нам нужно найти число, куб которого равен 27. Таким числом является 3, поскольку $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.
Следовательно, $x=3$ является корнем данного многочлена.
Ответ: да, многочлен имеет корень $x=3$.

в) $-2y^6 - 1$
Проверим, может ли данный многочлен равняться нулю, решив уравнение:
$-2y^6 - 1 = 0$
$-2y^6 = 1$
$y^6 = -\frac{1}{2}$
Любое действительное число ($y$), возведенное в четную степень (в данном случае, 6), дает неотрицательный результат: $y^6 \ge 0$. Следовательно, $y^6$ не может быть равно отрицательному числу $-\frac{1}{2}$.
Кроме того, поскольку $y^6 \ge 0$, то $-2y^6 \le 0$. Тогда $-2y^6 - 1 \le -1$. Значение многочлена всегда меньше или равно -1, поэтому оно не может быть равно нулю.
Ответ: многочлен не имеет корней.

г) $y^4 + 3y^2 + 7$
Проверим, имеет ли уравнение $y^4 + 3y^2 + 7 = 0$ решения.
Рассмотрим слагаемые многочлена. Переменная $y$ возводится только в четные степени (4 и 2). Для любого действительного числа $y$:
$y^4 \ge 0$
$y^2 \ge 0$, а значит $3y^2 \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных слагаемых ($y^4$ и $3y^2$) и положительного числа (7) всегда будет положительной:
$y^4 + 3y^2 + 7 \ge 0 + 0 + 7 = 7$.
Так как наименьшее возможное значение многочлена равно 7, он никогда не может равняться нулю.
Ответ: многочлен не имеет корней.

601. Какие из чисел 1, 2, 3 – 2, –7 + 2 являются корнями квадратного трёхчлена x² – 6x + 7?

$$\begin{gathered} x^2-6x+7=0 \\ D={(-6)}^2-4·1·7=36-28=8 \\ x=\frac{6\pm \sqrt{8}}{2}; x=\frac{6\pm 2\sqrt{2}}{2} \\ {x}_1=3+\sqrt{2}; x_2=3-\sqrt{2} \\ \text{Ответ:} 3-\sqrt{2} \end{gathered}$$

Для того чтобы определить, какие из предложенных чисел являются корнями квадратного трёхчлена $x^2 - 6x + 7$, необходимо поочерёдно подставить каждое из них в выражение вместо $x$. Если в результате вычислений получится 0, то число является корнем.

1

Проверим число 1. Подставляем $x = 1$ в трёхчлен:

$1^2 - 6 \cdot 1 + 7 = 1 - 6 + 7 = 2$

Результат не равен 0, следовательно, число 1 не является корнем.

Ответ: не является.

2

Проверим число 2. Подставляем $x = 2$ в трёхчлен:

$2^2 - 6 \cdot 2 + 7 = 4 - 12 + 7 = -1$

Результат не равен 0, следовательно, число 2 не является корнем.

Ответ: не является.

$3 - \sqrt{2}$

Проверим число $3 - \sqrt{2}$. Подставляем $x = 3 - \sqrt{2}$ в трёхчлен:

$(3 - \sqrt{2})^2 - 6(3 - \sqrt{2}) + 7$

Для раскрытия скобок используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) - 6 \cdot 3 + 6 \cdot \sqrt{2} + 7$

$= (9 - 6\sqrt{2} + 2) - 18 + 6\sqrt{2} + 7$

$= 11 - 6\sqrt{2} - 18 + 6\sqrt{2} + 7$

Сгруппируем и приведём подобные слагаемые:

$(11 - 18 + 7) + (-6\sqrt{2} + 6\sqrt{2}) = 0 + 0 = 0$

Результат равен 0, следовательно, число $3 - \sqrt{2}$ является корнем.

Ответ: является.

$-7 + \sqrt{2}$

Проверим число $-7 + \sqrt{2}$. Подставляем $x = -7 + \sqrt{2}$ в трёхчлен:

$(-7 + \sqrt{2})^2 - 6(-7 + \sqrt{2}) + 7$

Для раскрытия скобок используем формулу квадрата $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ (рассматривая как $(\sqrt{2}-7)^2$):

$((-7)^2 + 2 \cdot (-7) \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) - 6 \cdot (-7) - 6 \cdot \sqrt{2} + 7$

$= (49 - 14\sqrt{2} + 2) + 42 - 6\sqrt{2} + 7$

$= 51 - 14\sqrt{2} + 42 - 6\sqrt{2} + 7$

Сгруппируем и приведём подобные слагаемые:

$(51 + 42 + 7) + (-14\sqrt{2} - 6\sqrt{2}) = 100 - 20\sqrt{2}$

Результат $100 - 20\sqrt{2}$ не равен 0, следовательно, число $-7 + \sqrt{2}$ не является корнем.

Ответ: не является.

602. Найдите корни квадратного трёхчлена:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} x^2+x-6=0 \\ D=1^2-4·1·(-6)=1+24=25 \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{25}}{2}, x=\frac{-1\pm 5}{2} \\ x=2 \text{или} x=-3 \\ \text{Ответ:} -3; 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 9x^2-9x+2=0 \\ D={(-9)}^2-4·9·2=81-72=9 \\ x=\frac{9\pm \sqrt{9}}{18}, x=\frac{9\pm 3}{18} \\ x=\frac{12}{18} \text{или} x=\frac{1}{3} \\ x=\frac{2}{3} \\ \text{Ответ:} \frac{1}{3}; \frac{2}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 0,2x^2+3x-20=0 \\ D=3^2-4·0,2·(-20)=9+16=25 \\ x=\frac{-3\pm \sqrt{25}}{0,4}; x=\frac{-3\pm 5}{0,4} \\ \begin{array}{lcl}x=\frac{2}{0,4}& \text{или}& x=-\frac{8}{0,4}\\ x=5& & x=-20\end{array} \\ \text{Ответ:} -20; 5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} -2x^2-x-0,125=0 \\ D={(-1)}^2-4·(-2)·(-0,125)=1-1=0 \\ x=\frac{1}{-4} \\ \text{Ответ:} -\frac{1}{4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} 0,1x^2+0,4=0 \\ 0,1x^2=-0,4 \\ {x}^2=\frac{-0,4}{0,1} \\ {x}^2=-4 \\ \text{Ответ: корней нет} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} -0,3x^2+1,5x=0 \\ -0,3x(x-5)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& x-5=0\\ & & x=5\end{array} \\ \text{Ответ:} 0; 5 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти корни квадратного трёхчлена $x^2 + x - 6$, приравняем его к нулю и решим полученное квадратное уравнение:
$x^2 + x - 6 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=1$, $c=-6$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдём их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
Ответ: $-3; 2$.

б) Приравняем трёхчлен $9x^2 - 9x + 2$ к нулю:
$9x^2 - 9x + 2 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a=9$, $b=-9$, $c=2$.
Вычислим дискриминант:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 81 - 72 = 9$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{9}}{2 \cdot 9} = \frac{9 + 3}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$
$x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{9}}{2 \cdot 9} = \frac{9 - 3}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}; \frac{2}{3}$.

в) Приравняем трёхчлен $0,2x^2 + 3x - 20$ к нулю:
$0,2x^2 + 3x - 20 = 0$
Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$x^2 + 15x - 100 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=15$, $c=-100$.
Вычислим дискриминант:
$D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 225 + 400 = 625$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$x_1 = \frac{-15 + \sqrt{625}}{2 \cdot 1} = \frac{-15 + 25}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-15 - \sqrt{625}}{2 \cdot 1} = \frac{-15 - 25}{2} = \frac{-40}{2} = -20$
Ответ: $-20; 5$.

г) Приравняем трёхчлен $-2x^2 - x - 0,125$ к нулю:
$-2x^2 - x - 0,125 = 0$
Умножим обе части уравнения на -8, чтобы избавиться от десятичной дроби и отрицательного старшего коэффициента:
$16x^2 + 8x + 1 = 0$
Коэффициенты уравнения: $a=16$, $b=8$, $c=1$.
Вычислим дискриминант:
$D = 8^2 - 4 \cdot 16 \cdot 1 = 64 - 64 = 0$
Так как $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень. Найдём его по формуле $x = \frac{-b}{2a}$:
$x = \frac{-8}{2 \cdot 16} = \frac{-8}{32} = -\frac{1}{4}$
Можно также заметить, что левая часть является полным квадратом: $(4x+1)^2 = 0$, откуда $4x+1=0$ и $x = -1/4$.
Ответ: $-0,25$.

д) Приравняем трёхчлен $0,1x^2 + 0,4$ к нулю:
$0,1x^2 + 0,4 = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Перенесём свободный член в правую часть:
$0,1x^2 = -0,4$
Разделим обе части на 0,1:
$x^2 = -4$
Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, следовательно, у этого уравнения нет действительных корней.
Проверим через дискриминант: $a=0.1, b=0, c=0.4$.
$D = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \cdot 0.1 \cdot 0.4 = -0.16$
Так как $D < 0$, действительных корней нет.
Ответ: корней нет.

е) Приравняем трёхчлен $-0,3x^2 + 1,5x$ к нулю:
$-0,3x^2 + 1,5x = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(-0,3x + 1,5) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$
или
$-0,3x + 1,5 = 0$
$-0,3x = -1,5$
$x_2 = \frac{-1,5}{-0,3} = 5$
Ответ: $0; 5$.

603. Найдите корни квадратного трёхчлена:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 10x^2+5x-5=0 \\ D=5^2-4·10·(-5)=25+200=225 \\ x=\frac{-5\pm \sqrt{225}}{20}, x=\frac{-5\pm 15}{20} \\ x=\frac{1}{2} \text{или} x=-1 \\ \text{Ответ:} -1; \frac{1}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} -2x^2+12x-18=0 \\ D={12}^2-4·(-2)·(-18)=144-144=0 \\ x=\frac{-12}{-4}, x=3 \\ \text{Ответ:} 3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} x^2-2x-4=0 \\ D={(-2)}^2-4·1·(-4)=4+16=20 \\ x=\frac{2\pm \sqrt{20}}{2}; x=\frac{2\pm 2\sqrt{5}}{2} \\ {x}_1=1+\sqrt{5}; x_2=1-\sqrt{5} \\ \text{Ответ:} 1+\sqrt{5}; 1-\sqrt{5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} 12x^2-12=0 \\ 12(x^2-1)=0 \\ (x-1)(x+1)=0 \\ \begin{array}{lcl}x-1=0& \text{или}& x+1=0\\ x=1& & x=-1\end{array} \\ \text{Ответ:} -1; 1 \end{gathered}$$