Страница 136 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

591. (Для работы в парах.) Не решая уравнения, выясните, имеет ли оно корни, и если имеет, то определите их знаки:

1) Сформулируйте теорему, на основании которой можно определить знаки корней.

2) Распределите, кто выполняет задания а), в), д), а кто — задания б), г), е), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания. Исправьте ошибки, если они допущены.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} x^2+7x-1=0 \\ D=7^2-4·1·(-1)=49+4=53>0 \\ {x}_1+x_2=-7 \\ {x}_1·x_2=-1<0 \end{gathered}$$

Ответ: уравнение имеет корни разных знаков

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} x^2-7x+1=0 \\ D={(-7)}^2-4·1·1=49-4=45>0 \\ {x}_1+x_2=7>0 \\ {x}_1·x_2=1>0 \end{gathered}$$

Ответ: уравнение имеет корни, где x₁>0, x₂>0

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 5x^2+17x+16=0 \\ D={17}^2-4·5·16=289-320=-31<0 \end{gathered}$$

Ответ: нет корней

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} 19x^2-23x+5=0 \\ {x}^2-\frac{23}{19}x+\frac{5}{19}=0 \\ D={(-23)}^2-4·19·5=529-380=149>0 \\ {x}_1+x_2=\frac{23}{19} \\ {x}_1·x_2=\frac{5}{19} \end{gathered}$$

Ответ: уравнение имеет корни, где x₁>0, x₂>0

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} 2x^2+5\sqrt{3}x+11=0 \\ D={\left(5\sqrt{3}\right)}^2-4·2·11=75-88=-13<0 \end{gathered}$$

Ответ: нет корней

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} 11x^2-9x+7-5\sqrt{2}=0 \\ D={(-9)}^2-4·11·(7-5\sqrt{2})=81-308+220\sqrt{2}= \\ =220\sqrt{2}-227\approx 84>0 \\ {x}^2-\frac{9}{11}x+\frac{7-5\sqrt{2}}{11}=0 \\ {x}_1+x_2=\frac{9}{11} \\ {x}_1·x_2=\frac{7-5\sqrt{2}}{11}=\frac{\sqrt{49}-\sqrt{50}}{11}<0 \end{gathered}$$

Ответ: уравнение имеет корни разных знаков

Знаки корней можно определить на основании теоремы Виета: сумма корней приведённого квадратного уравнения равна -p=x₁+x₂, а произведение корней равно $q=x_1·x_2$

1) Сформулируйте теорему, на основании которой можно определить знаки корней.

Для определения знаков корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ используется теорема Виета и её следствия, в сочетании с анализом дискриминанта.

Сначала необходимо убедиться в наличии действительных корней с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Если $D \ge 0$, то корни существуют, и их знаки можно определить по следующим правилам (следствия из теоремы Виета):

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения.

• Правило 1: Если свободный член $c$ и старший коэффициент $a$ имеют разные знаки (то есть произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} < 0$), то уравнение имеет два корня с разными знаками (один положительный, другой отрицательный).
• Правило 2: Если свободный член $c$ и старший коэффициент $a$ имеют одинаковые знаки (то есть произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} > 0$), то оба корня имеют одинаковый знак. В этом случае знак определяется по второму коэффициенту $b$:
• Если коэффициент $b$ имеет знак, противоположный знаку $a$ (то есть сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} > 0$), то оба корня положительные.
• Если коэффициент $b$ имеет тот же знак, что и $a$ (то есть сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} < 0$), то оба корня отрицательные.

Ответ: Для определения знаков корней используется теорема Виета и её следствия, позволяющие по знакам коэффициентов уравнения судить о знаках корней, при условии, что дискриминант неотрицателен.

2) Распределите, кто выполняет задания а), в), д), а кто — задания б), г), е), и выполните их.

Так как задача решается в данном случае одним исполнителем, все пункты будут выполнены последовательно.

а) $x^2 + 7x - 1 = 0$

1. Проверка наличия корней. Коэффициенты: $a=1, b=7, c=-1$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 49 + 4 = 53$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Определение знаков корней.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-1}{1} = -1$.
Поскольку произведение отрицательно ($<0$), корни имеют разные знаки.

Ответ: Уравнение имеет два корня с разными знаками (один положительный, другой отрицательный).

б) $x^2 - 7x + 1 = 0$

1. Проверка наличия корней. Коэффициенты: $a=1, b=-7, c=1$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 49 - 4 = 45$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Определение знаков корней.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{1} = 1$.
Поскольку произведение положительно ($>0$), корни имеют одинаковый знак.
Сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-7}{1} = 7$.
Поскольку сумма положительна ($>0$), оба корня являются положительными.

Ответ: Уравнение имеет два положительных корня.

в) $5x^2 + 17x + 16 = 0$

1. Проверка наличия корней. Коэффициенты: $a=5, b=17, c=16$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 17^2 - 4 \cdot 5 \cdot 16 = 289 - 320 = -31$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Уравнение не имеет действительных корней.

г) $19x^2 - 23x + 5 = 0$

1. Проверка наличия корней. Коэффициенты: $a=19, b=-23, c=5$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 19 \cdot 5 = 529 - 380 = 149$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Определение знаков корней.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{5}{19}$.
Поскольку произведение положительно ($>0$), корни имеют одинаковый знак.
Сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-23}{19} = \frac{23}{19}$.
Поскольку сумма положительна ($>0$), оба корня являются положительными.

Ответ: Уравнение имеет два положительных корня.

д) $2x^2 + 5\sqrt{3}x + 11 = 0$

1. Проверка наличия корней. Коэффициенты: $a=2, b=5\sqrt{3}, c=11$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (5\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11 = 25 \cdot 3 - 88 = 75 - 88 = -13$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Уравнение не имеет действительных корней.

е) $11x^2 - 9x + 7 - 5\sqrt{2} = 0$

1. Проверка наличия корней. Коэффициенты: $a=11, b=-9, c=7-5\sqrt{2}$.
Сначала оценим знак $c = 7 - 5\sqrt{2}$. Сравним $7$ и $5\sqrt{2}$. Возведем в квадрат: $7^2 = 49$ и $(5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50$. Так как $49 < 50$, то $7 < 5\sqrt{2}$, следовательно, $c = 7 - 5\sqrt{2} < 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (7 - 5\sqrt{2}) = 81 - 44(7 - 5\sqrt{2}) = 81 - 308 + 220\sqrt{2} = 220\sqrt{2} - 227$.
Оценим знак $D$. Сравним $220\sqrt{2}$ и $227$. Возведем в квадрат: $(220\sqrt{2})^2 = 48400 \cdot 2 = 96800$ и $227^2 = 51529$. Так как $96800 > 51529$, то $220\sqrt{2} > 227$, следовательно, $D > 0$. Уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Определение знаков корней.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{7 - 5\sqrt{2}}{11}$.
Как мы установили ранее, $c = 7 - 5\sqrt{2} < 0$, поэтому и все произведение $\frac{c}{a} < 0$.
Поскольку произведение отрицательно, корни имеют разные знаки.

Ответ: Уравнение имеет два корня с разными знаками (один положительный, другой отрицательный).

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания. Исправьте ошибки, если они допущены.

Этот пункт предназначен для работы в паре и самопроверки. Все вышеприведенные решения были проверены. Логика рассуждений основана на анализе знака дискриминанта для определения наличия корней и на следствиях из теоремы Виета для определения знаков корней. Все вычисления выполнены корректно.

Ответ: Ошибок в решениях не обнаружено.

592. Докажите, что уравнение не может иметь корни одинаковых знаков:

а) 3x² + 113x – 7 = 0;

б) 5x² – 291x – 16 = 0.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 3x^2+113x-7=0 \\ D={113}^2-4·3·(-7)=12769+84=12853>0 \\ {x}_1+x_2=\frac{-113}{3} \\ {x}_1·x_2=\frac{-7}{3}<0 \end{gathered}$$

Значит, уравнение не может иметь корни одинаковых знаков

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 5x^2-291ч-16=0 \\ D={(-291)}^2-4·5·(-16)= \\ =84681+320=85001>0 \\ {x}^2-\frac{291}{5}x-\frac{16}{5}=0 \\ {x}_1+x_2=\frac{291}{5} \\ {x}_1·x_2=-\frac{16}{5}<0 \end{gathered}$$

Значит, уравнение не может иметь корни одинаковых знаков

Для доказательства воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, имеющего действительные корни $x_1$ и $x_2$, выполняются следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Корни уравнения могут иметь одинаковые знаки (оба положительные или оба отрицательные) только в том случае, если их произведение положительно ($x_1 \cdot x_2 > 0$). Если же произведение корней отрицательно ($x_1 \cdot x_2 < 0$), это означает, что один корень положителен, а другой отрицателен, то есть они имеют разные знаки.

Также необходимо убедиться, что уравнения в принципе имеют действительные корни. Условием существования действительных корней является неотрицательность дискриминанта: $D = b^2 - 4ac \ge 0$.

а) $3x^2 + 113x - 7 = 0$

1. Проверим наличие действительных корней.
Для этого уравнения коэффициенты равны: $a = 3$, $b = 113$, $c = -7$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 113^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 12769 + 84 = 12853$. Поскольку $D = 12853 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Проанализируем знаки корней.
Воспользуемся теоремой Виета для нахождения произведения корней $x_1$ и $x_2$: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-7}{3}$.

Так как произведение корней является отрицательным числом ($-\frac{7}{3} < 0$), то корни уравнения имеют разные знаки. Следовательно, они не могут быть одинаковых знаков, что и требовалось доказать.

Ответ: Произведение корней равно $\frac{-7}{3}$, что является отрицательным числом, поэтому корни имеют разные знаки.

б) $5x^2 - 291x - 16 = 0$

1. Проверим наличие действительных корней.
Для этого уравнения коэффициенты равны: $a = 5$, $b = -291$, $c = -16$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-291)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-16) = 84681 + 320 = 85001$. Поскольку $D = 85001 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Проанализируем знаки корней.
Воспользуемся теоремой Виета для нахождения произведения корней $x_1$ и $x_2$: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-16}{5}$.

Так как произведение корней является отрицательным числом ($-\frac{16}{5} < 0$), то корни уравнения имеют разные знаки. Следовательно, они не могут быть одинаковых знаков, что и требовалось доказать.

Ответ: Произведение корней равно $\frac{-16}{5}$, что является отрицательным числом, поэтому корни имеют разные знаки.

593. (Для работы в парах.) Уравнение x² + 5x + m = 0 имеет корни x₁ и x₂. Найдите, при каком значении m:

а) сумма квадратов корней равна 35;

б) сумма кубов корней равна 40.

1) Обсудите подходы к выполнению задания а) и задания б).

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга правильность полученных ответов. Исправьте замеченные ошибки.

$$\begin{gathered} x^2+5x+m=0 \\ \mathbf{\text{а)}} x_1^2+x_2^2=35 \\ {x}_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-2x_1{x}_2=35 \\ {(x_1+x_2)}^2-2x_1{x}_2=35 \\ {x}_1+x_2=-5 \\ {x}_1·x_2=m \\ {(-5)}^2-2m=35 \\ 25-2m=35 \\ 2m=-10 \\ m=-5 \end{gathered}$$

Ответ: при m=-5

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} x_1^3+x_2^3=40 \\ (x_1+x_2)(x_1^2-x_1{x}_2+x_2^2)=40 \\ -5·(x_1^2+x_2^2-x_1{x}_2)=40 \\ -5((x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2-x_1{x}_2)=40 \\ (-5{)}^2-3m=-8 \\ 25-3m=-8 \\ 3m=33 \\ m=11 \end{gathered}$$

Ответ: при m=11

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2 + 5x + m = 0$. Если $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения, то:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -5$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = m$

Также, для того чтобы уравнение имело действительные корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 25 - 4m$

Условие $D \ge 0$ дает нам неравенство $25 - 4m \ge 0$, из которого следует $m \le \frac{25}{4}$ или $m \le 6.25$. Найденные значения $m$ мы будем проверять на соответствие этому условию.

а) сумма квадратов корней равна 35

По условию, $x_1^2 + x_2^2 = 35$.

Выразим сумму квадратов корней через сумму и произведение корней с помощью тождества:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Теперь подставим в это тождество значения из теоремы Виета:

$35 = (-5)^2 - 2m$

Решим полученное уравнение относительно $m$:

$35 = 25 - 2m$

$2m = 25 - 35$

$2m = -10$

$m = -5$

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение условию $m \le 6.25$. Так как $-5 \le 6.25$, условие выполняется. Значит, при $m = -5$ уравнение имеет действительные корни, сумма квадратов которых равна 35.

Ответ: $m = -5$.

б) сумма кубов корней равна 40

По условию, $x_1^3 + x_2^3 = 40$.

Выразим сумму кубов корней через их сумму и произведение. Используем формулу суммы кубов:

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2)$

Преобразуем второй множитель, чтобы использовать известные нам величины:

$x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2 = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) - 3x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2$

Тогда формула для суммы кубов примет вид:

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2)$

Подставим значения из теоремы Виета:

$40 = (-5)((-5)^2 - 3m)$

Решим это уравнение:

$40 = -5(25 - 3m)$

Разделим обе части на -5:

$-8 = 25 - 3m$

$3m = 25 + 8$

$3m = 33$

$m = 11$

Теперь проверим, удовлетворяет ли найденное значение условию существования действительных корней: $m \le 6.25$.

Значение $m = 11$ не удовлетворяет этому условию, поскольку $11 > 6.25$. Это означает, что при $m=11$ дискриминант уравнения будет отрицательным ($D = 25 - 4 \cdot 11 = 25 - 44 = -19 < 0$), и, следовательно, уравнение не будет иметь действительных корней.

Ответ: такого значения $m$, при котором уравнение имело бы действительные корни, не существует.

594. При каких значениях х верно равенство:

а) (3x + 1)² = 3x + 1;

б) (3x + 1)² = 3(x + 1);

в) (3x + 1)² = (2x – 5)²;

г) (3x + 4)² = 4(x + 3);

д) 4(x + 3)² = (2x + 6)²;

е) (6x + 3)² = (x – 4)²?

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} {(3x+1)}^2=3x+1 \\ {(3x+1)}^2-(3x+1)=0 \\ (3x+1)(3x+1-1)=0 \\ \begin{array}{lcl}3x+1=0& \text{или}& 3x=0\\ 3x=-1& & x=0\\ x=-\frac{1}{3}& & \end{array} \\ \text{Ответ:} 0; -\frac{1}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} {(3x+1)}^2=3(x+1) \\ 9x^2+6x+1-3x-3=0 \\ 9x^2+3x-2=0 \\ D=3^2-4·9·(-2)=9+72=81 \\ x=\frac{-3\pm \sqrt{81}}{18}, x=\frac{-3\pm 9}{18} \\ {x}_1=\frac{1}{3}; x_2=-\frac{12}{18}; x_2=-\frac{2}{3} \\ \text{Ответ:} -\frac{2}{3}; \frac{1}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} {(3x+1)}^2={(2x-5)}^2 \\ {(3x+1)}^2-{(2x-5)}^2=0 \\ \left(\right(3x+1)-(2x-5\left)\right)(3x+1+2x-5)=0 \\ (3x+1-2x+5)(5x-4)=0 \\ (x+6)(5x-4)=0 \\ \begin{array}{lcl}x+6=0& \text{или}& 5x-4=0\\ x=-6& & 5x=4\\ & & x=0,8\end{array} \\ \text{Ответ:} -6; 0,8 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} {(3x+4)}^2=4(x+3) \\ 9x^2+24x+16=4x+12 \\ 9x^2+24x-4x+16-12=0 \\ 9x^2+20x+4=0 \\ D={20}^2-4·4·9=400-144=256 \\ x=\frac{-20\pm \sqrt{256}}{18}; x=\frac{-20\pm 16}{18} \\ {x}_1=-\frac{2}{9}; x_2=-2 \\ \text{Ответ:} -\frac{2}{9}; -2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} 4{(x+3)}^2={(2x+6)}^2 \\ 4{(x+3)}^2=(2{(x+3))}^2 \\ 4{(x+3)}^2=4{(x+3)}^2 \\ {(x+3)}^2-{(x+3)}^2=0 \end{gathered}$$
0x=0
Ответ: любое число

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} {(6x+3)}^2={(x-4)}^2 \\ {(6x+3)}^2-{(x-4)}^2 \\ \left(\right(6x+3)-(x-4\left)\right)(6x+3+x-4)=0 \\ (6x+3-x+4)(7x-1)=0 \\ (5x+7)(7x-1)=0 \\ \begin{array}{lcl}5x+7=0& \text{или}& 7x-1=0\\ 5x=-7& & 7x=1\\ x=-\frac{7}{5}& & x=\frac{1}{7}\\ x=-1,4& & \end{array} \\ \text{Ответ:} -1,4; \frac{1}{7} \end{gathered}$$

а)

Решим уравнение $(3x + 1)^2 = 3x + 1$.

Это квадратное уравнение относительно выражения $(3x+1)$. Сделаем замену переменной. Пусть $y = 3x + 1$. Тогда уравнение примет вид:

$y^2 = y$

Перенесем все в левую часть и разложим на множители:

$y^2 - y = 0$

$y(y - 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $y$: $y_1 = 0$ или $y_2 = 1$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$:

1) Если $y = 0$, то $3x + 1 = 0$.

$3x = -1$

$x = - \frac{1}{3}$

2) Если $y = 1$, то $3x + 1 = 1$.

$3x = 0$

$x = 0$

Ответ: $x = - \frac{1}{3}$, $x = 0$.

б)

Решим уравнение $(3x + 1)^2 = 3(x + 1)$.

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

$9x^2 + 6x + 1 = 3x + 3$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$9x^2 + 6x - 3x + 1 - 3 = 0$

$9x^2 + 3x - 2 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 3^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-2) = 9 + 72 = 81$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{81}}{2 \cdot 9} = \frac{-3 + 9}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{81}}{2 \cdot 9} = \frac{-3 - 9}{18} = \frac{-12}{18} = - \frac{2}{3}$

Ответ: $x = - \frac{2}{3}$, $x = \frac{1}{3}$.

в)

Решим уравнение $(3x + 1)^2 = (2x - 5)^2$.

Это уравнение вида $A^2 = B^2$, которое равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ или $A = -B$.

Рассмотрим оба случая:

1) $3x + 1 = 2x - 5$

$3x - 2x = -5 - 1$

$x = -6$

2) $3x + 1 = -(2x - 5)$

$3x + 1 = -2x + 5$

$3x + 2x = 5 - 1$

$5x = 4$

$x = \frac{4}{5}$

Ответ: $x = -6$, $x = \frac{4}{5}$.

г)

Решим уравнение $(3x + 4)^2 = 4(x + 3)$.

Раскроем скобки в обеих частях:

$9x^2 + 24x + 16 = 4x + 12$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$9x^2 + 24x - 4x + 16 - 12 = 0$

$9x^2 + 20x + 4 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 20^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 400 - 144 = 256$

$\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-20 + 16}{2 \cdot 9} = \frac{-4}{18} = - \frac{2}{9}$

$x_2 = \frac{-20 - 16}{2 \cdot 9} = \frac{-36}{18} = -2$

Ответ: $x = -2$, $x = - \frac{2}{9}$.

д)

Решим уравнение $4(x + 3)^2 = (2x + 6)^2$.

Преобразуем правую часть уравнения, вынеся общий множитель 2 за скобки:

$(2x + 6)^2 = (2(x + 3))^2 = 2^2(x + 3)^2 = 4(x + 3)^2$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$4(x + 3)^2 = 4(x + 3)^2$

Мы получили тождество, то есть равенство, верное при любом значении переменной $x$.

Ответ: $x$ - любое действительное число.

е)

Решим уравнение $(6x + 3)^2 = (x - 4)^2$.

Воспользуемся свойством, что равенство $A^2 = B^2$ равносильно совокупности $A = B$ или $A = -B$.

Рассмотрим два случая:

1) $6x + 3 = x - 4$

$6x - x = -4 - 3$

$5x = -7$

$x = - \frac{7}{5}$

2) $6x + 3 = -(x - 4)$

$6x + 3 = -x + 4$

$6x + x = 4 - 3$

$7x = 1$

$x = \frac{1}{7}$

Ответ: $x = - \frac{7}{5}$, $x = \frac{1}{7}$.

595. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 8 : 15, а гипотенуза равна 6,8 м. Найдите площадь треугольника.

Пусть x м - величина одной части, тогда 8x(м) и 15x(м) - катеты прямоугольного треугольника.

Зная, что гипотенуза равна 6,8м, по теореме Пифагора составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} {\left(8x\right)}^2+{\left(15x\right)}^2=6,8^2 \\ 64x^2+225x^2=46,24 \\ 289x^2=46,24 \\ {x}^2=0,16 \end{gathered}$$

x=0,4 или x=-0,4 - не удовлетворяет условию задачи x>0

8x=8*0,4=3,2(м) - один катет

15x=15*0,4=6(м) - второй катет

$S_{∆}=\frac{1}{2}·6·3,2=9,6\left({\text{м}}^2\right)$

Ответ: 9,6м²

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b. Согласно условию, их отношение составляет 8 : 15. Мы можем выразить длины катетов через коэффициент пропорциональности $x$:

$a = 8x$

$b = 15x$

Гипотенуза $c$ равна 6,8 м. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим наши выражения для $a$, $b$ и значение $c$ в уравнение:

$(8x)^2 + (15x)^2 = (6,8)^2$

$64x^2 + 225x^2 = 46,24$

$289x^2 = 46,24$

Теперь решим уравнение относительно $x$:

$x^2 = \frac{46,24}{289}$

$x^2 = 0,16$

$x = \sqrt{0,16} = 0,4$

Теперь мы можем найти длины катетов:

$a = 8x = 8 \cdot 0,4 = 3,2$ м

$b = 15x = 15 \cdot 0,4 = 6,0$ м

Площадь прямоугольного треугольника ($S$) равна половине произведения его катетов:

$S = \frac{1}{2}ab$

$S = \frac{1}{2} \cdot 3,2 \cdot 6,0 = 1,6 \cdot 6,0 = 9,6$ м²

Ответ: 9,6 м².

596. Отношение гипотенузы прямоугольного треугольника к одному из катетов равно 1312, другой катет равен 15 см. Найдите периметр треугольника.

Дано: $$\begin{gathered} \frac{AB}{BC}=\frac{13}{12} \\ AC=15\text{см} \end{gathered}$$

Найти: P_ABC

Решение

Пусть x см - величина одной части, тогда AB=13x(см), BC=12x(см). Зная, что AC=15см по теореме Пифагора составим и решим уравнение

15²+(12x)²=(13x)²

225+144x²=169x²

25x²=225

x²=9

x=3 или x=-3 - не удовлетворяет условию задачи x>0

AB=3*13=39(см)

BC=3*12=36(см)

P_ABC=15+36+39=90(см)

Ответ: 90см

Обозначим стороны прямоугольного треугольника: $a$ и $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза.

Согласно условию, отношение гипотенузы к одному из катетов равно $\frac{13}{12}$. Пусть это будет катет $a$. Таким образом, мы имеем соотношение:
$\frac{c}{a} = \frac{13}{12}$

Это соотношение означает, что стороны $c$ и $a$ пропорциональны числам 13 и 12. Мы можем ввести коэффициент пропорциональности $x$ и выразить длины этих сторон через него:
$c = 13x$
$a = 12x$

Длина другого катета, $b$, задана и равна 15 см.

Воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим в это уравнение выражения для $a$, $b$ и $c$:
$(12x)^2 + 15^2 = (13x)^2$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:
$144x^2 + 225 = 169x^2$
Перенесем члены с $x^2$ в одну сторону:
$225 = 169x^2 - 144x^2$
$225 = 25x^2$
$x^2 = \frac{225}{25}$
$x^2 = 9$
Так как $x$ представляет собой коэффициент для длин сторон, он должен быть положительным числом:
$x = \sqrt{9} = 3$

Теперь мы можем найти длины катета $a$ и гипотенузы $c$:
$a = 12x = 12 \cdot 3 = 36$ см.
$c = 13x = 13 \cdot 3 = 39$ см.

Периметр треугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон.
$P = a + b + c$
$P = 36 \text{ см} + 15 \text{ см} + 39 \text{ см}$
$P = 90$ см.

Ответ: 90 см.

597. Найдите стороны прямоугольника, если известно, что одна из них на 14 см больше другой, а диагональ прямоугольника равна 34 см.

Пусть x см - меньшая сторона прямоугольника, тогда (x+14)см - большая сторона прямоугольника. Зная, что диагональ прямоугольника равна 34см, по теореме Пифагора составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} x^2+{(x+14)}^2={34}^2 \\ {x}^2+x^2+28x+196=1156 \\ {x}^2+28x-960=0 /:2 \\ {x}^2+14x-480=0 \\ D={14}^2-4·1·(-480)=196+1920=2116 \\ x=\frac{-14\pm \sqrt{2116}}{2}; x=\frac{-14\pm 46}{2} \end{gathered}$$

x=16 или x=-25 - не удовлетворяет условию задачи x>0

16+14=30(см)

Ответ: 16см и 30см

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $x$ см. Согласно условию, большая сторона на 14 см больше, следовательно, ее длина составляет $(x + 14)$ см.

Диагональ прямоугольника, его длина и ширина образуют прямоугольный треугольник, где стороны прямоугольника являются катетами, а диагональ — гипотенузой. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Составим уравнение на основе теоремы Пифагора, где катеты равны $x$ и $(x + 14)$, а гипотенуза равна 34 см:

$x^2 + (x + 14)^2 = 34^2$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + (x^2 + 2 \cdot 14 \cdot x + 14^2) = 1156$

$x^2 + x^2 + 28x + 196 = 1156$

$2x^2 + 28x + 196 - 1156 = 0$

$2x^2 + 28x - 960 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:

$x^2 + 14x - 480 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-480) = 196 + 1920 = 2116$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2116} = 46$.

Теперь найдем значения $x$:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 + 46}{2 \cdot 1} = \frac{32}{2} = 16$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 - 46}{2 \cdot 1} = \frac{-60}{2} = -30$

Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, корень $x_2 = -30$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, длина одной стороны прямоугольника равна 16 см.

Найдем длину второй стороны:

$x + 14 = 16 + 14 = 30$ см.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 16 см и 30 см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 16 см и 30 см.