Страница 129 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

557. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 6 больше другого, равно 187. Найдите эти числа.

Пусть x-одно число, тогда x+6 - другое число. Зная, что произведение этих чисел равно 187, составим и решим уравнение

1) x(x+6)=187

$$\begin{gathered} x^2+6x-187=0 \\ D=6^2-4·1·(-187)=36+748=784 \\ x=\frac{-6\pm \sqrt{784}}{2}; x=\frac{-6\pm 28}{2} \\ x=11 \text{или} x=-17\notin N \end{gathered}$$

2) 11+6=17

Ответ: 11 и 17

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть меньшее из двух натуральных чисел равно $x$.

Согласно условию, второе число на 6 больше первого, следовательно, оно равно $x + 6$.

Произведение этих двух чисел равно 187. Мы можем составить уравнение:

$x \cdot (x + 6) = 187$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 6x = 187$

$x^2 + 6x - 187 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-187) = 36 + 748 = 784$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{784}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 28}{2} = \frac{22}{2} = 11$

$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{784}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 28}{2} = \frac{-34}{2} = -17$

По условию задачи, мы ищем натуральные числа, а натуральные числа — это целые положительные числа. Корень $x_2 = -17$ не является натуральным числом, поэтому он не является решением задачи.

Единственный подходящий корень — $x_1 = 11$. Это первое (меньшее) число.

Второе число равно $x + 6$, то есть $11 + 6 = 17$.

Проверим найденные числа: они оба натуральные, их разность равна $17 - 11 = 6$, а их произведение равно $11 \cdot 17 = 187$. Условия задачи выполнены.

Ответ: 11 и 17.

558. Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 4 см больше ширины, а площадь равна 60 см².

Пусть x(см) - ширина прямоугольника, тогда (x+4)см - длина прямоугольника. Зная, что площадь прямоугольника равна 60см², составим и решим уравнение

1) x(x+4)=60

$$\begin{gathered} x^2+4x-60=0 \\ D=4^2-4·1·(-60)=16+240=256 \\ x=\frac{-4\pm \sqrt{256}}{2}; x=\frac{-4\pm 16}{2} \end{gathered}$$

x=6 или x=-10 - не удовлетворяет условию задачи x>0

2) 6+4=10(см) - длина

3) P=2*(10+6)=32(см)

Ответ: 32см

Пусть ширина прямоугольника равна $x$ см. Согласно условию, длина прямоугольника на 4 см больше ширины, следовательно, длина равна $(x + 4)$ см.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение его длины на ширину. Известно, что площадь равна 60 см?. Составим и решим уравнение:

$S = \text{длина} \cdot \text{ширина}$
$60 = (x + 4) \cdot x$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + 4x = 60$
$x^2 + 4x - 60 = 0$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 16 + 240 = 256$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 16}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 16}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

Поскольку ширина прямоугольника не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -10$ не подходит по смыслу задачи. Таким образом, ширина прямоугольника равна 6 см.

Теперь найдем длину прямоугольника:
Длина = $x + 4 = 6 + 4 = 10$ см.

Периметр прямоугольника ($P$) вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (\text{длина} + \text{ширина})$.
$P = 2 \cdot (10 + 6) = 2 \cdot 16 = 32$ см.

Ответ: 32 см.