Страница 125 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

531. Вычислите дискриминант квадратного уравнения и укажите число его корней:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 2x^2+3x+1=0 \\ D=3^2-4·2·1=9-8=1>0 \\ \text{Ответ: 2 корня} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 2x^2+x+2=0 \\ D=1^2-4·2·2=1-16=-15<0 \\ \text{Ответ: нет корней} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 9x^2+6x+1=0 \\ D=6^2-4·9·1=36-36=0 \\ \text{Ответ: 1 корень} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} x^2+5x-6=0 \\ D=5^2-4·1·(-6)=25+24=49>0 \\ \text{Ответ: 2 корня} \end{gathered}$$

Для нахождения дискриминанта и определения количества корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ используется формула дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Количество действительных корней уравнения зависит от знака дискриминанта:

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень.
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

а) $2x^2 + 3x + 1 = 0$

В данном уравнении коэффициенты равны: $a = 2$, $b = 3$, $c = 1$.
Вычислим дискриминант по формуле:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$

Поскольку $D = 1 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Ответ: $D = 1$, 2 корня.

б) $2x^2 + x + 2 = 0$

Здесь коэффициенты: $a = 2$, $b = 1$, $c = 2$.
Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 - 16 = -15$

Поскольку $D = -15 < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: $D = -15$, нет корней.

в) $9x^2 + 6x + 1 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 9$, $b = 6$, $c = 1$.
Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 36 - 36 = 0$

Поскольку $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень.
Ответ: $D = 0$, 1 корень.

г) $x^2 + 5x - 6 = 0$

Коэффициенты: $a = 1$, $b = 5$, $c = -6$.
Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$

Поскольку $D = 49 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Ответ: $D = 49$, 2 корня.

532. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 3x^2-7x+4=0 \\ D={(-7)}^2-4·3·4=49-48=1>0 \\ x=\frac{7\pm \sqrt{1}}{6}, x=\frac{7\pm 1}{6} \\ x=\frac{8}{6} \text{или} x=1 \\ x=\frac{4}{3} \\ x=1\frac{1}{3} \\ \text{Ответ:} 1; 1\frac{1}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 5x^2-8x+3=0 \\ D={(-8)}^2-4·5·3=64-60=4>0 \\ x=\frac{8\pm \sqrt{4}}{10}, x=\frac{8\pm 2}{10} \\ x=1 \text{или} x=0,6 \\ \text{Ответ:} 0,6; 1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 3x^2-13x+14=0 \\ D={(-13)}^2-4·3·14=169-168=1>0 \\ x=\frac{13\pm \sqrt{1}}{6}; x=\frac{13\pm 1}{6} \\ x=\frac{14}{6} \text{или} x=2 \\ x=\frac{7}{3} \\ x=2\frac{1}{3} \\ \text{Ответ:} 2\frac{1}{3}; 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} 2y^2-9y+10=0 \\ D={(-9)}^2-4·2·10=81-80=1>0 \\ y=\frac{9\pm \sqrt{1}}{4}; y=\frac{9\pm 1}{4} \\ y=\frac{10}{4} \text{или} y=2 \\ y=\frac{5}{2} \\ y=2,5 \\ \text{Ответ:} 2,5; 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} 5y^2-6y+1=0 \\ D={(-6)}^2-4·5·1=36-20=16>0 \\ y=\frac{6\pm \sqrt{16}}{10}; y=\frac{6\pm 4}{10} \\ y=1 \text{или} y=0,2 \\ \text{Ответ:} 1; 0,2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} 4x^2+x-33=0 \\ D=1^2-4·4·(-33)=1+528=529>0 \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{529}}{8}, x=\frac{-1\pm 23}{8} \\ x=\frac{22}{8} \text{или} x=-3 \\ x=\frac{11}{4} \\ x=2\frac{3}{4} \\ \text{Ответ:} -3; 2\frac{3}{4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж)}} y^2-10y-24=0 \\ D={(-10)}^2-4·1·(-24)=100+96=196>0 \\ y=\frac{10\pm \sqrt{196}}{2}, y=\frac{10\pm 14}{2} \\ y=12 \text{или} y=-2 \\ \text{Ответ:} -2; 12 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з)}} p^2+p-90=0 \\ D=1-4·1·(-90)=1+360=361>0 \\ p=\frac{-1\pm \sqrt{361}}{2}, p=\frac{-1\pm 19}{2} \\ p=9 \text{или} p=-10 \\ \text{Ответ:} -10; 9 \end{gathered}$$

а) Дано уравнение: $3x^2 - 7x + 4 = 0$.
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a=3$, $b=-7$, $c=4$.
Для решения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$.
Ответ: $1; \frac{4}{3}$.

б) Дано уравнение: $5x^2 - 8x + 3 = 0$.
Коэффициенты: $a=5$, $b=-8$, $c=3$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{4} = 2$.
$x_1 = \frac{-(-8) + 2}{2 \cdot 5} = \frac{8 + 2}{10} = \frac{10}{10} = 1$.
$x_2 = \frac{-(-8) - 2}{2 \cdot 5} = \frac{8 - 2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}; 1$.

в) Дано уравнение: $3x^2 - 13x + 14 = 0$.
Коэффициенты: $a=3$, $b=-13$, $c=14$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 14 = 169 - 168 = 1$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{1} = 1$.
$x_1 = \frac{-(-13) + 1}{2 \cdot 3} = \frac{13 + 1}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$.
$x_2 = \frac{-(-13) - 1}{2 \cdot 3} = \frac{13 - 1}{6} = \frac{12}{6} = 2$.
Ответ: $2; \frac{7}{3}$.

г) Дано уравнение: $2y^2 - 9y + 10 = 0$.
Коэффициенты: $a=2$, $b=-9$, $c=10$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 81 - 80 = 1$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{1} = 1$.
$y_1 = \frac{-(-9) + 1}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 1}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2,5$.
$y_2 = \frac{-(-9) - 1}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 1}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
Ответ: $2; 2,5$.

д) Дано уравнение: $5y^2 - 6y + 1 = 0$.
Коэффициенты: $a=5$, $b=-6$, $c=1$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{16}=4$.
$y_1 = \frac{-(-6) + 4}{2 \cdot 5} = \frac{6 + 4}{10} = \frac{10}{10} = 1$.
$y_2 = \frac{-(-6) - 4}{2 \cdot 5} = \frac{6 - 4}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}; 1$.

е) Дано уравнение: $4x^2 + x - 33 = 0$.
Коэффициенты: $a=4$, $b=1$, $c=-33$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-33) = 1 + 528 = 529$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{529}=23$.
$x_1 = \frac{-1 + 23}{2 \cdot 4} = \frac{22}{8} = \frac{11}{4} = 2,75$.
$x_2 = \frac{-1 - 23}{2 \cdot 4} = \frac{-24}{8} = -3$.
Ответ: $-3; 2,75$.

ж) Дано уравнение: $y^2 - 10y - 24 = 0$.
Коэффициенты: $a=1$, $b=-10$, $c=-24$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{196}=14$.
$y_1 = \frac{-(-10) + 14}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12$.
$y_2 = \frac{-(-10) - 14}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 14}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.
Ответ: $-2; 12$.

з) Дано уравнение: $p^2 + p - 90 = 0$.
Коэффициенты: $a=1$, $b=1$, $c=-90$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{361}=19$.
$p_1 = \frac{-1 + 19}{2 \cdot 1} = \frac{18}{2} = 9$.
$p_2 = \frac{-1 - 19}{2 \cdot 1} = \frac{-20}{2} = -10$.
Ответ: $-10; 9$.

533. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 14x^2-5x-1=0 \\ D={(-5)}^2-4·14·(-1)=25+56=81>0 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{81}}{28}, x=\frac{5\pm 9}{28} \\ x=\frac{14}{28} \text{или} x=-\frac{1}{7} \\ x=\frac{1}{2} \\ \text{Ответ:} -\frac{1}{7}; \frac{1}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} -y^2+3y+5=0 \\ D=3^2-4·(-1)·5=9+20=29>0 \\ y=\frac{-3\pm \sqrt{29}}{-2}, y=\frac{-3\pm \sqrt{29}}{2} \\ y=\frac{3-\sqrt{29}}{2} \text{или} y=\frac{3+\sqrt{29}}{2} \\ \text{Ответ:} \frac{3-\sqrt{29}}{2}; \frac{3+\sqrt{29}}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 2x^2+x+67=0 \\ D=1^2-4·2·67=1-536=-535<0 \\ \text{Ответ: нет корней} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} 1-18p+81p^2=0 \\ 81p^2-18p+1=0 \\ D={(-18)}^2-4·81·1=324-324=0 \\ p=\frac{18}{162}; p=\frac{1}{9} \\ \text{Ответ:} \frac{1}{9} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} -11y+y^2-152=0 \\ {y}^2-11y-152=0 \\ D={(-11)}^2-4·1·(-152)=121+608=729>0 \\ y=\frac{11\pm \sqrt{729}}{2}; y=\frac{11\pm 27}{2} \\ y=19 \text{или} y=-8 \\ \text{Ответ:} -8; 19 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} 18+3x^2-x=0 \\ 3x^2-x+18=0 \\ D={(-1)}^2-4·3·18=1-216=-215<0 \\ \text{Ответ: нет корней} \end{gathered}$$

а) $14x^2 - 5x - 1 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны $a=14$, $b=-5$, $c=-1$.
Для решения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 14 \cdot (-1) = 25 + 56 = 81$.
Так как $D = 81 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$.
Корни находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-5) - 9}{2 \cdot 14} = \frac{5 - 9}{28} = \frac{-4}{28} = -\frac{1}{7}$
$x_2 = \frac{-(-5) + 9}{2 \cdot 14} = \frac{5 + 9}{28} = \frac{14}{28} = \frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{7}; \frac{1}{2}$.

б) $-y^2 + 3y + 5 = 0$

Для удобства умножим все члены уравнения на -1, чтобы коэффициент при старшей степени стал положительным: $y^2 - 3y - 5 = 0$.
Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=-3$, $c=-5$.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 9 + 20 = 29$.
Так как $D = 29 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Корни находим по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{-(-3) - \sqrt{29}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - \sqrt{29}}{2}$
$y_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{29}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + \sqrt{29}}{2}$

Ответ: $\frac{3 - \sqrt{29}}{2}; \frac{3 + \sqrt{29}}{2}$.

в) $2x^2 + x + 67 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=2$, $b=1$, $c=67$.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 67 = 1 - 536 = -535$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.

г) $1 - 18p + 81p^2 = 0$

Перепишем уравнение в стандартном виде: $81p^2 - 18p + 1 = 0$.
Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=9p$ и $b=1$.
Следовательно, уравнение можно записать как $(9p - 1)^2 = 0$.
$9p - 1 = 0$
$9p = 1$
$p = \frac{1}{9}$
В качестве альтернативы можно использовать дискриминант. Для $a=81, b=-18, c=1$:
$D = (-18)^2 - 4 \cdot 81 \cdot 1 = 324 - 324 = 0$.
Так как $D=0$, уравнение имеет один корень: $p = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-18)}{2 \cdot 81} = \frac{18}{162} = \frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$.

д) $-11y + y^2 - 152 = 0$

Перепишем уравнение в стандартном виде: $y^2 - 11y - 152 = 0$.
Коэффициенты: $a=1$, $b=-11$, $c=-152$.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-152) = 121 + 608 = 729$.
Так как $D = 729 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{729} = 27$.
Корни находим по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{-(-11) - 27}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 27}{2} = \frac{-16}{2} = -8$
$y_2 = \frac{-(-11) + 27}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 27}{2} = \frac{38}{2} = 19$

Ответ: $-8; 19$.

е) $18 + 3x^2 - x = 0$

Перепишем уравнение в стандартном виде: $3x^2 - x + 18 = 0$.
Коэффициенты: $a=3$, $b=-1$, $c=18$.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 18 = 1 - 216 = -215$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.

534. Найдите корни уравнения:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 5x^2-11x+2=0 \\ D={(-11)}^2-4·5·2=121-40=81>0 \\ x=\frac{11\pm \sqrt{81}}{10}, x=\frac{11\pm 9}{10} \\ x=2; x=0,2 \\ \text{Ответ:} 0,2; 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 2p^2+7p-30=0 \\ D=7^2-4·2·(-30)=49+240=289>0 \\ p=\frac{-7\pm \sqrt{289}}{4}, p=\frac{-7\pm 17}{4} \\ p=\frac{10}{4} \text{или} p=-6 \\ p=\frac{5}{2} \\ p=2,5 \\ \text{Ответ:} -6; 2,5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 9y^2-30y+25=0 \\ D={(-30)}^2-4·9·25=900-900=0 \\ y=\frac{30}{18}, y=\frac{5}{3}, y=1\frac{2}{3} \\ \text{Ответ:} 1\frac{2}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} 35x^2+2x-1=0 \\ D=2^2-4·35·(-1)=4+140=144>0 \\ x=\frac{-2\pm \sqrt{144}}{70}; x=\frac{-2\pm 12}{70} \\ \begin{array}{ccc}x=\frac{1}{7}& \text{или}& x=-\frac{14}{70}\\ & & x=-\frac{2}{10}\\ & & x=-0,2\end{array} \\ \text{Ответ:} -0,2; \frac{1}{7} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} 2y^2-y-5=0 \\ D={(-1)}^2-4·2·(-5)=1+40=41>0 \\ y=\frac{1\pm \sqrt{41}}{4} \\ \text{Ответ:} \frac{1+\sqrt{41}}{4}, \frac{1-\sqrt{41}}{4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} 16x^2-8x+1=0 \\ D={(-8)}^2-4·16·1=64-64=0 \\ x=\frac{8\pm \sqrt{0}}{32}, x=\frac{1}{4} \\ \text{Ответ:} \frac{1}{4} \end{gathered}$$

а) $5x^2 - 11x + 2 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=5$, $b=-11$, $c=2$.

Для решения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 - 40 = 81$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$.

Корни уравнения находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-11) + 9}{2 \cdot 5} = \frac{11 + 9}{10} = \frac{20}{10} = 2$

$x_2 = \frac{-(-11) - 9}{2 \cdot 5} = \frac{11 - 9}{10} = \frac{2}{10} = 0,2$

Ответ: $2$; $0,2$.

б) $2p^2 + 7p - 30 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=2$, $b=7$, $c=-30$.

Вычислим дискриминант:

$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-30) = 49 + 240 = 289$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.

Найдем корни уравнения:

$p_1 = \frac{-7 + 17}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2,5$

$p_2 = \frac{-7 - 17}{2 \cdot 2} = \frac{-24}{4} = -6$

Ответ: $2,5$; $-6$.

в) $9y^2 - 30y + 25 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=9$, $b=-30$, $c=25$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-30)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 25 = 900 - 900 = 0$

Так как $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих корня). Его можно найти по формуле $y = \frac{-b}{2a}$.

Также можно заметить, что левая часть уравнения является полным квадратом: $(3y - 5)^2 = 0$.

$3y - 5 = 0$

$3y = 5$

$y = \frac{5}{3}$

Ответ: $\frac{5}{3}$.

г) $35x^2 + 2x - 1 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=35$, $b=2$, $c=-1$.

Вычислим дискриминант:

$D = 2^2 - 4 \cdot 35 \cdot (-1) = 4 + 140 = 144$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-2 + 12}{2 \cdot 35} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}$

$x_2 = \frac{-2 - 12}{2 \cdot 35} = \frac{-14}{70} = -\frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{7}$; $-\frac{1}{5}$.

д) $2y^2 - y - 5 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=2$, $b=-1$, $c=-5$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 1 + 40 = 41$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{41}$.

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{41}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + \sqrt{41}}{4}$

$y_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{41}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - \sqrt{41}}{4}$

Ответ: $\frac{1 + \sqrt{41}}{4}$; $\frac{1 - \sqrt{41}}{4}$.

е) $16x^2 - 8x + 1 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=16$, $b=-8$, $c=1$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 1 = 64 - 64 = 0$

Так как $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень.

Левая часть уравнения является полным квадратом: $(4x - 1)^2 = 0$.

$4x - 1 = 0$

$4x = 1$

$x = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$.

535. При каких значениях х:

а) трёхчлен x² – 11x + 31 принимает значение, равное 1;

б) значения многочленов x² – 5x – 3 и 2x – 5 равны;

в) двучлен 7x + 1 равен трёхчлену 3x² – 2x + 1;

г) трёхчлен –2x² + 5x + 6 равен двучлену 4x² + 5x?

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} x^2-11x+31=1 \\ {x}^2-11x+31-1=0 \\ {x}^2-11x+30=0 \\ D={(-11)}^2-4·30=121-120=1>0 \\ x=\frac{11\pm \sqrt{1}}{2}, x=\frac{11\pm 1}{2} \\ x=6 \text{или} x=5 \\ \text{Ответ:} 5; 6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} x^2-5x-3=2x-5 \\ {x}^2-5x-3-2x+5=0 \\ {x}^2-7x+2=0 \\ D={(-7)}^2-4·1·2=49-8=41>0 \\ x=\frac{7\pm \sqrt{41}}{2} \\ \text{Ответ:} \frac{7+\sqrt{41}}{2}; \frac{7-\sqrt{41}}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 7x+1=3x^2-2x+1 \\ 3x^2-2x+1-7x-1=0 \\ 3x^2-9x=0 \\ 3x(x-3)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& x-3=0\\ & & x=3\end{array} \\ \text{Ответ:} 0; 3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} -2x^2+5x+6=4x^2+5x \\ -2x^2+5x+6-4x^2-5x=0 \\ -6x^2+6=0 \\ -6(x^2-1)=0 \\ {x}^2-1=0 \\ {x}^2=1 \\ x=1 \text{или} x=-1 \\ \text{Ответ:} -1; 1 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти значения $x$, при которых трёхчлен $x^2 - 11x + 31$ принимает значение, равное 1, необходимо решить уравнение:

$x^2 - 11x + 31 = 1$

Перенесём 1 в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида:

$x^2 - 11x + 31 - 1 = 0$

$x^2 - 11x + 30 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета, согласно которой сумма корней равна 11, а их произведение равно 30. Корни легко подбираются: 5 и 6. Либо можно решить через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 - 120 = 1$

Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{11 - \sqrt{1}}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{11 + \sqrt{1}}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Ответ: 5; 6.

б) Чтобы найти значения $x$, при которых значения многочленов $x^2 - 5x - 3$ и $2x - 5$ равны, приравняем их:

$x^2 - 5x - 3 = 2x - 5$

Перенесём все члены в левую часть и приведём подобные слагаемые:

$x^2 - 5x - 2x - 3 + 5 = 0$

$x^2 - 7x + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 49 - 8 = 41$

Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{7 - \sqrt{41}}{2}$

$x_2 = \frac{7 + \sqrt{41}}{2}$

Ответ: $\frac{7 - \sqrt{41}}{2}$; $\frac{7 + \sqrt{41}}{2}$.

в) Чтобы найти значения $x$, при которых двучлен $7x + 1$ равен трёхчлену $3x^2 - 2x + 1$, приравняем их:

$7x + 1 = 3x^2 - 2x + 1$

Перенесём все члены в правую часть уравнения:

$0 = 3x^2 - 2x - 7x + 1 - 1$

$3x^2 - 9x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x - 3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$3x = 0$ или $x - 3 = 0$

$x_1 = 0$

$x_2 = 3$

Ответ: 0; 3.

г) Чтобы найти значения $x$, при которых трёхчлен $-2x^2 + 5x + 6$ равен двучлену $4x^2 + 5x$, составим уравнение:

$-2x^2 + 5x + 6 = 4x^2 + 5x$

Перенесём все члены в правую часть и приведём подобные слагаемые:

$0 = 4x^2 + 2x^2 + 5x - 5x - 6$

$6x^2 - 6 = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение:

$6x^2 = 6$

$x^2 = 1$

Уравнение имеет два корня:

$x_1 = -1$

$x_2 = 1$

Ответ: -1; 1.

536. При каких значениях х принимают равные значения:

а) двучлены x² – 6x и 5x – 18;

б) трёхчлены 3x² – 4x + 3 и x² + x + 1?

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} x^2-6x=5x-18 \\ {x}^2-6x-5x+18=0 \\ {x}^2-11x+18=0 \\ D={(-11)}^2-4·1·18=121-72=49>0 \\ x=\frac{11\pm \sqrt{49}}{2}, x=\frac{11\pm 7}{2} \\ x=9 \text{или} x=2 \\ \text{Ответ:} 2; 9 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 3x^2-4x+3=x^2+x+1 \\ 3x^2-4x+3-x^2-x-1=0 \\ 2x^2-5x+2=0 \\ D={(-5)}^2-4·2·2=25-16=9>0 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{9}}{4}, x=\frac{5\pm 3}{4} \\ x=2 \text{или} x=\frac{1}{2} \\ \text{Ответ:} \frac{1}{2}; 2 \end{gathered}$$

а)

Чтобы найти значения $x$, при которых двучлены $x^2 - 6x$ и $5x - 18$ принимают равные значения, необходимо приравнять их друг к другу и решить полученное уравнение:

$x^2 - 6x = 5x - 18$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 6x - 5x + 18 = 0$

$x^2 - 11x + 18 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-11$, $c=18$:

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 121 - 72 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: $x = 2$, $x = 9$.

б)

Чтобы найти значения $x$, при которых трёхчлены $3x^2 - 4x + 3$ и $x^2 + x + 1$ принимают равные значения, приравняем их и решим уравнение:

$3x^2 - 4x + 3 = x^2 + x + 1$

Перенесем все члены в левую часть уравнения и приведем подобные слагаемые:

$3x^2 - x^2 - 4x - x + 3 - 1 = 0$

$2x^2 - 5x + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=2$, $b=-5$, $c=2$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

Дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$

Ответ: $x = 0.5$, $x = 2$.

537. Решите уравнение, используя формулу (II):

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 3x^2-14x+16=0 \\ 3x^2-2·7x+16=0 \\ {D}_1={(-7)}^2-3·16=49-48=1 \\ x=\frac{7\pm \sqrt{1}}{3}, x=\frac{7\pm 1}{3} \\ x=\frac{8}{3} \text{или} x=2 \\ x=2\frac{2}{3} \\ \text{Ответ:} 2; 2\frac{2}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 5p^2-16p+3=0 \\ 5p^2-2·8p+3=0 \\ {D}_1={(-8)}^2-5·3=64-15=49 \\ p=\frac{8\pm \sqrt{49}}{5}, p=\frac{8\pm 7}{5} \\ p=3 \text{или} p=\frac{1}{5} \\ \text{Ответ:} \frac{1}{5}; 3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} d^2+2d-80=0 \\ {D}_1=1^2-1·(-80)=1+80=81 \\ d=\frac{-1\pm \sqrt{81}}{1}, d=-1\pm 9 \\ d=8 \text{или} d=-10 \\ \text{Ответ:} -10; 8 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} x^2-22x-23=0 \\ {x}^2-2·11x-23=0 \\ {D}_1={(-11)}^2-1·(-23)=121+23=144 \\ x=\frac{11\pm \sqrt{144}}{1}; x=11\pm 12 \\ x=23 \text{или} x=-1 \\ \text{Ответ:} -1; 23 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} 4t^2-36t+77=0 \\ 4t^2-2·18t+77=0 \\ {D}_1={(-18)}^2-4·77=324-308=16 \\ t=\frac{18\pm \sqrt{16}}{4}, t=\frac{18\pm 4}{4} \\ t=5,5 \text{или} t=3,5 \\ \text{Ответ:} 5,5; 3,5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} 15y^2-22y-37=0 \\ 15y^2-2·11y-37=0 \\ {D}_1={(-11)}^2-15·(-37)=121+555=676 \\ y=\frac{11\pm \sqrt{676}}{15}, y=\frac{11\pm 26}{15} \\ y=\frac{37}{15} \text{или} y=-1 \\ y=2\frac{7}{15} \\ \text{Ответ:} -1; 2\frac{7}{15} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж)}} 7z^2-20z+14=0 \\ 7z^2-2·10z+14=0 \\ {D}_1={(-10)}^2-7·14=100-98=2 \\ z=\frac{10\pm \sqrt{2}}{7} \\ \text{Ответ:} \frac{10+\sqrt{2}}{7}, \frac{10-\sqrt{2}}{7} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з)}} y^2-10y-25=0 \\ {y}^2-2·5y-25=0 \\ {D}_1={(-5)}^2-1·(-25)=25+25=50 \\ y=\frac{5\pm \sqrt{50}}{1}, y=5\pm \sqrt{25·2} \\ y=5\pm 5\sqrt{2} \\ \text{Ответ:} 5+5\sqrt{2}; 5-5\sqrt{2} \end{gathered}$$

а) Для уравнения $3x^2 - 14x + 16 = 0$ коэффициенты $a=3, b=-14, c=16$.
Так как $b$ - четное число, используем формулу для корней через половинный коэффициент $k = \frac{b}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.
Дискриминант $D_1 = k^2 - ac = (-7)^2 - 3 \cdot 16 = 49 - 48 = 1$.
Корни находим по формуле $x = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{1}}{3} = \frac{7 \pm 1}{3}$.
$x_1 = \frac{7 - 1}{3} = \frac{6}{3} = 2$.
$x_2 = \frac{7 + 1}{3} = \frac{8}{3}$.

Ответ: $2; \frac{8}{3}$.

б) Для уравнения $5p^2 - 16p + 3 = 0$ коэффициенты $a=5, b=-16, c=3$.
Так как $b$ - четное число, используем формулу для корней через половинный коэффициент $k = \frac{b}{2} = \frac{-16}{2} = -8$.
Дискриминант $D_1 = k^2 - ac = (-8)^2 - 5 \cdot 3 = 64 - 15 = 49$.
Корни находим по формуле $p = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$p = \frac{-(-8) \pm \sqrt{49}}{5} = \frac{8 \pm 7}{5}$.
$p_1 = \frac{8 - 7}{5} = \frac{1}{5}$.
$p_2 = \frac{8 + 7}{5} = \frac{15}{5} = 3$.

Ответ: $\frac{1}{5}; 3$.

в) Для уравнения $d^2 + 2d - 80 = 0$ коэффициенты $a=1, b=2, c=-80$.
Так как $b$ - четное число, используем формулу для корней через половинный коэффициент $k = \frac{b}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Дискриминант $D_1 = k^2 - ac = 1^2 - 1 \cdot (-80) = 1 + 80 = 81$.
Корни находим по формуле $d = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$d = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{1} = -1 \pm 9$.
$d_1 = -1 - 9 = -10$.
$d_2 = -1 + 9 = 8$.

Ответ: $-10; 8$.

г) Для уравнения $x^2 - 22x - 23 = 0$ коэффициенты $a=1, b=-22, c=-23$.
Так как $b$ - четное число, используем формулу для корней через половинный коэффициент $k = \frac{b}{2} = \frac{-22}{2} = -11$.
Дискриминант $D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 1 \cdot (-23) = 121 + 23 = 144$.
Корни находим по формуле $x = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$x = \frac{-(-11) \pm \sqrt{144}}{1} = 11 \pm 12$.
$x_1 = 11 - 12 = -1$.
$x_2 = 11 + 12 = 23$.

Ответ: $-1; 23$.

д) Для уравнения $4t^2 - 36t + 77 = 0$ коэффициенты $a=4, b=-36, c=77$.
Так как $b$ - четное число, используем формулу для корней через половинный коэффициент $k = \frac{b}{2} = \frac{-36}{2} = -18$.
Дискриминант $D_1 = k^2 - ac = (-18)^2 - 4 \cdot 77 = 324 - 308 = 16$.
Корни находим по формуле $t = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$t = \frac{-(-18) \pm \sqrt{16}}{4} = \frac{18 \pm 4}{4}$.
$t_1 = \frac{18 - 4}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} = 3.5$.
$t_2 = \frac{18 + 4}{4} = \frac{22}{4} = \frac{11}{2} = 5.5$.

Ответ: $3.5; 5.5$.

е) Для уравнения $15y^2 - 22y - 37 = 0$ коэффициенты $a=15, b=-22, c=-37$.
Так как $b$ - четное число, используем формулу для корней через половинный коэффициент $k = \frac{b}{2} = \frac{-22}{2} = -11$.
Дискриминант $D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 15 \cdot (-37) = 121 + 555 = 676$.
Корни находим по формуле $y = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$y = \frac{-(-11) \pm \sqrt{676}}{15} = \frac{11 \pm 26}{15}$.
$y_1 = \frac{11 - 26}{15} = \frac{-15}{15} = -1$.
$y_2 = \frac{11 + 26}{15} = \frac{37}{15}$.

Ответ: $-1; \frac{37}{15}$.

ж) Для уравнения $7z^2 - 20z + 14 = 0$ коэффициенты $a=7, b=-20, c=14$.
Так как $b$ - четное число, используем формулу для корней через половинный коэффициент $k = \frac{b}{2} = \frac{-20}{2} = -10$.
Дискриминант $D_1 = k^2 - ac = (-10)^2 - 7 \cdot 14 = 100 - 98 = 2$.
Корни находим по формуле $z = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$z = \frac{-(-10) \pm \sqrt{2}}{7} = \frac{10 \pm \sqrt{2}}{7}$.
$z_1 = \frac{10 - \sqrt{2}}{7}$.
$z_2 = \frac{10 + \sqrt{2}}{7}$.

Ответ: $\frac{10 - \sqrt{2}}{7}; \frac{10 + \sqrt{2}}{7}$.

з) Для уравнения $y^2 - 10y - 25 = 0$ коэффициенты $a=1, b=-10, c=-25$.
Так как $b$ - четное число, используем формулу для корней через половинный коэффициент $k = \frac{b}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.
Дискриминант $D_1 = k^2 - ac = (-5)^2 - 1 \cdot (-25) = 25 + 25 = 50$.
Корни находим по формуле $y = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$y = \frac{-(-5) \pm \sqrt{50}}{1} = 5 \pm \sqrt{25 \cdot 2} = 5 \pm 5\sqrt{2}$.
$y_1 = 5 - 5\sqrt{2}$.
$y_2 = 5 + 5\sqrt{2}$.

Ответ: $5 - 5\sqrt{2}; 5 + 5\sqrt{2}$.

538. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 8x^2-14x+5=0 \\ 8x^2-2·7x+5=0 \\ {D}_1={(-7)}^2-8·5=49-40=9 \\ x=\frac{7\pm \sqrt{9}}{8}, x=\frac{7\pm 3}{8} \\ x=\frac{10}{8} \text{или} x=\frac{1}{2} \\ x=\frac{5}{4} \\ x=1\frac{1}{4} \\ \text{Ответ:} 1\frac{1}{4}; \frac{1}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 12t^2+16t-3=0 \\ 12t^2+2·8t-3=0 \\ {D}_1=8^2-12·(-3)=64+36=100 \\ t=\frac{-8\pm \sqrt{100}}{12}, t=\frac{-8\pm 10}{12} \\ \begin{array}{ccl}t=\frac{1}{6}& \text{или}& t=\frac{-18}{12}\\ & & t=-\frac{3}{2}\\ & & t=-1\frac{1}{2}\end{array} \\ \text{Ответ:} \frac{1}{6}, -1\frac{1}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 4p^2+4p+1=0 \\ 4p^2+2·2p+1=0 \\ {D}_1=2^2-4·1=4-4=0 \\ p=\frac{-2}{4}; p=-\frac{1}{2} \\ \text{Ответ:} -\frac{1}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} x^2-8x-84=0 \\ {x}^2-2·4x-84=0 \\ {D}_1={(-4)}^2-1·(-84)=16+84=100 \\ x=\frac{4\pm \sqrt{100}}{1}, x=4\pm 10 \\ x=14 \text{или} x=-6 \\ \text{Ответ:} -6; 14 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} m^2+6m-19=0 \\ {m}^2+2·3m-19=0 \\ {D}_1=3^2-1·(-19)=9+19=28 \\ m=\frac{-3\pm \sqrt{28}}{1}, m=-3\pm 2\sqrt{7} \\ \text{Ответ:} -3+2\sqrt{7}; -3-2\sqrt{7} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} 5y^2+26y-24=0 \\ 5y^2+2·13y-24=0 \\ {D}_1={13}^2-5·(-24)=169+120=289 \\ y=\frac{-13\pm \sqrt{289}}{5}, y=\frac{-13\pm 17}{5} \\ y=\frac{4}{5} \text{или} y=-6 \\ \text{Ответ:} -6; 0,8 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж)}} z^2-34z+289=0 \\ {z}^2-2·17z+289=0 \\ {D}_1={(-17)}^2-1·289=289-289=0 \\ z=17 \\ \text{Ответ:} 17 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з)}} 3x^2+32x+80=0 \\ 3x^2+2·16x+80=0 \\ {D}_1={16}^2-3·80=256-240=16 \\ x=\frac{-16\pm \sqrt{16}}{3}, x=\frac{-16\pm 4}{3} \\ \begin{array}{ccl}x=-4& \text{или}& x=-\frac{20}{3}\\ & & x=-6\frac{2}{3}\end{array} \\ \text{Ответ:} -4; -6\frac{2}{3} \end{gathered}$$

а) Решим квадратное уравнение $8x^2 - 14x + 5 = 0$.
Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=8$, $b=-14$, $c=5$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-14)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 5 = 196 - 160 = 36$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{36} = 6$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-14) + 6}{2 \cdot 8} = \frac{14 + 6}{16} = \frac{20}{16} = \frac{5}{4} = 1,25$.
$x_2 = \frac{-(-14) - 6}{2 \cdot 8} = \frac{14 - 6}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} = 0,5$.
Ответ: $x_1 = 1,25$; $x_2 = 0,5$.

б) Решим квадратное уравнение $12t^2 + 16t - 3 = 0$.
Здесь $a=12$, $b=16$, $c=-3$. Коэффициент $b$ четный, поэтому воспользуемся формулой для четного второго коэффициента $k = \frac{b}{2} = \frac{16}{2} = 8$.
Найдем дискриминант $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = 8^2 - 12 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$.
$\sqrt{D_1} = \sqrt{100} = 10$.
Найдем корни по формуле $t_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$t_1 = \frac{-8 + 10}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
$t_2 = \frac{-8 - 10}{12} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2} = -1,5$.
Ответ: $t_1 = \frac{1}{6}$; $t_2 = -1,5$.

в) Решим квадратное уравнение $4p^2 + 4p + 1 = 0$.
Левая часть уравнения является полным квадратом суммы: $(2p)^2 + 2 \cdot 2p \cdot 1 + 1^2 = (2p+1)^2$.
Получаем уравнение $(2p+1)^2 = 0$.
$2p + 1 = 0$.
$2p = -1$.
$p = -\frac{1}{2} = -0,5$.
Уравнение имеет один корень.
Ответ: $p = -0,5$.

г) Решим квадратное уравнение $x^2 - 8x - 84 = 0$.
Здесь $a=1$, $b=-8$, $c=-84$. Коэффициент $b$ четный, $k = \frac{b}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.
Найдем дискриминант $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = (-4)^2 - 1 \cdot (-84) = 16 + 84 = 100$.
$\sqrt{D_1} = \sqrt{100} = 10$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = -k \pm \sqrt{D_1}$ (так как $a=1$):
$x_1 = -(-4) + 10 = 4 + 10 = 14$.
$x_2 = -(-4) - 10 = 4 - 10 = -6$.
Ответ: $x_1 = 14$; $x_2 = -6$.

д) Решим квадратное уравнение $m^2 + 6m - 19 = 0$.
Здесь $a=1$, $b=6$, $c=-19$. Коэффициент $b$ четный, $k = \frac{b}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
Найдем дискриминант $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = 3^2 - 1 \cdot (-19) = 9 + 19 = 28$.
$\sqrt{D_1} = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$.
Найдем корни по формуле $m_{1,2} = -k \pm \sqrt{D_1}$ (так как $a=1$):
$m_1 = -3 + 2\sqrt{7}$.
$m_2 = -3 - 2\sqrt{7}$.
Ответ: $m_{1,2} = -3 \pm 2\sqrt{7}$.

е) Решим квадратное уравнение $5y^2 + 26y - 24 = 0$.
Здесь $a=5$, $b=26$, $c=-24$. Коэффициент $b$ четный, $k = \frac{b}{2} = \frac{26}{2} = 13$.
Найдем дискриминант $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = 13^2 - 5 \cdot (-24) = 169 + 120 = 289$.
$\sqrt{D_1} = \sqrt{289} = 17$.
Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$y_1 = \frac{-13 + 17}{5} = \frac{4}{5} = 0,8$.
$y_2 = \frac{-13 - 17}{5} = \frac{-30}{5} = -6$.
Ответ: $y_1 = 0,8$; $y_2 = -6$.

ж) Решим квадратное уравнение $z^2 - 34z + 289 = 0$.
Заметим, что $289 = 17^2$ и $34 = 2 \cdot 17$. Левая часть уравнения является полным квадратом разности: $z^2 - 2 \cdot z \cdot 17 + 17^2 = (z-17)^2$.
Получаем уравнение $(z-17)^2 = 0$.
$z - 17 = 0$.
$z = 17$.
Уравнение имеет один корень.
Ответ: $z = 17$.

з) Решим квадратное уравнение $3x^2 + 32x + 80 = 0$.
Здесь $a=3$, $b=32$, $c=80$. Коэффициент $b$ четный, $k = \frac{b}{2} = \frac{32}{2} = 16$.
Найдем дискриминант $D_1 = k^2 - ac$:
$D_1 = 16^2 - 3 \cdot 80 = 256 - 240 = 16$.
$\sqrt{D_1} = \sqrt{16} = 4$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$x_1 = \frac{-16 + 4}{3} = \frac{-12}{3} = -4$.
$x_2 = \frac{-16 - 4}{3} = -\frac{20}{3} = -6\frac{2}{3}$.
Ответ: $x_1 = -4$; $x_2 = -6\frac{2}{3}$.

539. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 2x^2-5x-3=0 \\ D={(-5)}^2-4·2·(-3)=25+24=49>0 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{49}}{4}, x=\frac{5\pm 7}{4} \\ x=3 \text{или} x=-\frac{1}{2} \\ \text{Ответ:} -\frac{1}{2}; 3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 3x^2-8x+5=0 \\ D={(-8)}^2-4·3·5=64-60=4>0 \\ x=\frac{8\pm \sqrt{4}}{6}, x=\frac{8\pm 2}{6} \\ x=\frac{10}{6} \text{или} x=1 \\ x=\frac{5}{3} \\ x=1\frac{2}{3} \\ \text{Ответ:} 1; 1\frac{2}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 5x^2+9x+4=0 \\ D=9^2-4·5·4=81-80=1>0 \\ x=\frac{-9\pm \sqrt{1}}{10}; x=\frac{-9\pm 1}{10} \\ x=-0,8 \text{или} x=-1 \\ \text{Ответ:} -0,8; -1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} 36y^2-12y+1=0 \\ D={(-12)}^2-4·36·1=144-144=0 \\ y=\frac{12}{72}; y=\frac{1}{6} \\ \text{Ответ:} \frac{1}{6} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} 3t^2-3t+1=0 \\ D={(-3)}^2-4·3·1=9-12=-3<0 \\ \text{Ответ: нет корней} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} x^2+9x-22=0 \\ D=9^2-4·1·(-22)=81+88=169>0 \\ x=\frac{-9\pm \sqrt{169}}{2}, x=\frac{-9\pm 13}{2} \\ x=2 \text{или} x=-11 \\ \text{Ответ:} -11; 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж)}} y^2-12y+32=0 \\ D={(-12)}^2-4·1·32=144-128=16>0 \\ y=\frac{12\pm \sqrt{16}}{2}, y=\frac{12\pm 4}{2} \\ y=8 \text{или} y=4 \\ \text{Ответ:} 4; 8 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з)}} 100x^2-160x+63=0 \\ 100x^2-2·80x+63=0 \\ {D}_1={(-80)}^2-100·63=6400-6300=100 \\ x=\frac{80\pm \sqrt{100}}{100}, x=\frac{80\pm 10}{100} \\ x=0,9 \text{или} x=0,7 \\ \text{Ответ:} 0,7; 0,9 \end{gathered}$$

а) $2x^2 - 5x - 3 = 0$

Это стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$.

Коэффициенты: $a = 2$, $b = -5$, $c = -3$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-5) - 7}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

$x_2 = \frac{-(-5) + 7}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$

Ответ: -0.5; 3.

б) $3x^2 - 8x + 5 = 0$

Коэффициенты: $a = 3$, $b = -8$, $c = 5$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-8) - 2}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$

$x_2 = \frac{-(-8) + 2}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

Ответ: 1; $\frac{5}{3}$.

в) $5x^2 + 9x + 4 = 0$

Коэффициенты: $a = 5$, $b = 9$, $c = 4$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 81 - 80 = 1$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-9 - 1}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$

$x_2 = \frac{-9 + 1}{2 \cdot 5} = \frac{-8}{10} = -0.8$

Ответ: -1; -0.8.

г) $36y^2 - 12y + 1 = 0$

Коэффициенты: $a = 36$, $b = -12$, $c = 1$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 36 \cdot 1 = 144 - 144 = 0$.

Так как $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень. Можно также заметить, что левая часть является полным квадратом: $(6y - 1)^2 = 0$.

Найдем корень по формуле $y = \frac{-b}{2a}$:

$y = \frac{-(-12)}{2 \cdot 36} = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$.

д) $3t^2 - 3t + 1 = 0$

Коэффициенты: $a = 3$, $b = -3$, $c = 1$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 9 - 12 = -3$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

е) $x^2 + 9x - 22 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение ($a=1$).

Коэффициенты: $a = 1$, $b = 9$, $c = -22$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 81 + 88 = 169$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-9 - 13}{2 \cdot 1} = \frac{-22}{2} = -11$

$x_2 = \frac{-9 + 13}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: -11; 2.

ж) $y^2 - 12y + 32 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение ($a=1$).

Коэффициенты: $a = 1$, $b = -12$, $c = 32$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 - 128 = 16$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{16} = 4$.

Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{-(-12) - 4}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 4}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$y_2 = \frac{-(-12) + 4}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 4}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Ответ: 4; 8.

з) $100x^2 - 160x + 63 = 0$

Коэффициенты: $a = 100$, $b = -160$, $c = 63$.

Так как коэффициент $b$ четный, удобно использовать формулу для четного второго коэффициента $D_1 = (\frac{b}{2})^2 - ac$.

$k = \frac{b}{2} = \frac{-160}{2} = -80$.

$D_1 = (-80)^2 - 100 \cdot 63 = 6400 - 6300 = 100$.

Корни находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:

$x_1 = \frac{80 - \sqrt{100}}{100} = \frac{80 - 10}{100} = \frac{70}{100} = 0.7$

$x_2 = \frac{80 + \sqrt{100}}{100} = \frac{80 + 10}{100} = \frac{90}{100} = 0.9$

Ответ: 0.7; 0.9.