Номер 534, страница 125 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Формула корней квадратного уравнения. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 534, страница 125.

534. Найдите корни уравнения:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 5x^2-11x+2=0 \\ D={(-11)}^2-4·5·2=121-40=81>0 \\ x=\frac{11\pm \sqrt{81}}{10}, x=\frac{11\pm 9}{10} \\ x=2; x=0,2 \\ \text{Ответ:} 0,2; 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 2p^2+7p-30=0 \\ D=7^2-4·2·(-30)=49+240=289>0 \\ p=\frac{-7\pm \sqrt{289}}{4}, p=\frac{-7\pm 17}{4} \\ p=\frac{10}{4} \text{или} p=-6 \\ p=\frac{5}{2} \\ p=2,5 \\ \text{Ответ:} -6; 2,5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 9y^2-30y+25=0 \\ D={(-30)}^2-4·9·25=900-900=0 \\ y=\frac{30}{18}, y=\frac{5}{3}, y=1\frac{2}{3} \\ \text{Ответ:} 1\frac{2}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} 35x^2+2x-1=0 \\ D=2^2-4·35·(-1)=4+140=144>0 \\ x=\frac{-2\pm \sqrt{144}}{70}; x=\frac{-2\pm 12}{70} \\ \begin{array}{ccc}x=\frac{1}{7}& \text{или}& x=-\frac{14}{70}\\ & & x=-\frac{2}{10}\\ & & x=-0,2\end{array} \\ \text{Ответ:} -0,2; \frac{1}{7} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} 2y^2-y-5=0 \\ D={(-1)}^2-4·2·(-5)=1+40=41>0 \\ y=\frac{1\pm \sqrt{41}}{4} \\ \text{Ответ:} \frac{1+\sqrt{41}}{4}, \frac{1-\sqrt{41}}{4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} 16x^2-8x+1=0 \\ D={(-8)}^2-4·16·1=64-64=0 \\ x=\frac{8\pm \sqrt{0}}{32}, x=\frac{1}{4} \\ \text{Ответ:} \frac{1}{4} \end{gathered}$$

а) $5x^2 - 11x + 2 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=5$, $b=-11$, $c=2$.

Для решения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 - 40 = 81$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$.

Корни уравнения находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-11) + 9}{2 \cdot 5} = \frac{11 + 9}{10} = \frac{20}{10} = 2$

$x_2 = \frac{-(-11) - 9}{2 \cdot 5} = \frac{11 - 9}{10} = \frac{2}{10} = 0,2$

Ответ: $2$; $0,2$.

б) $2p^2 + 7p - 30 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=2$, $b=7$, $c=-30$.

Вычислим дискриминант:

$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-30) = 49 + 240 = 289$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.

Найдем корни уравнения:

$p_1 = \frac{-7 + 17}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2,5$

$p_2 = \frac{-7 - 17}{2 \cdot 2} = \frac{-24}{4} = -6$

Ответ: $2,5$; $-6$.

в) $9y^2 - 30y + 25 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=9$, $b=-30$, $c=25$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-30)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 25 = 900 - 900 = 0$

Так как $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих корня). Его можно найти по формуле $y = \frac{-b}{2a}$.

Также можно заметить, что левая часть уравнения является полным квадратом: $(3y - 5)^2 = 0$.

$3y - 5 = 0$

$3y = 5$

$y = \frac{5}{3}$

Ответ: $\frac{5}{3}$.

г) $35x^2 + 2x - 1 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=35$, $b=2$, $c=-1$.

Вычислим дискриминант:

$D = 2^2 - 4 \cdot 35 \cdot (-1) = 4 + 140 = 144$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-2 + 12}{2 \cdot 35} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}$

$x_2 = \frac{-2 - 12}{2 \cdot 35} = \frac{-14}{70} = -\frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{7}$; $-\frac{1}{5}$.

д) $2y^2 - y - 5 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=2$, $b=-1$, $c=-5$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 1 + 40 = 41$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{41}$.

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{41}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + \sqrt{41}}{4}$

$y_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{41}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - \sqrt{41}}{4}$

Ответ: $\frac{1 + \sqrt{41}}{4}$; $\frac{1 - \sqrt{41}}{4}$.

е) $16x^2 - 8x + 1 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=16$, $b=-8$, $c=1$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 1 = 64 - 64 = 0$

Так как $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень.

Левая часть уравнения является полным квадратом: $(4x - 1)^2 = 0$.

$4x - 1 = 0$

$4x = 1$

$x = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$.