Номер 535, страница 125 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Формула корней квадратного уравнения. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 535, страница 125.

535. При каких значениях х:

а) трёхчлен x² – 11x + 31 принимает значение, равное 1;

б) значения многочленов x² – 5x – 3 и 2x – 5 равны;

в) двучлен 7x + 1 равен трёхчлену 3x² – 2x + 1;

г) трёхчлен –2x² + 5x + 6 равен двучлену 4x² + 5x?

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} x^2-11x+31=1 \\ {x}^2-11x+31-1=0 \\ {x}^2-11x+30=0 \\ D={(-11)}^2-4·30=121-120=1>0 \\ x=\frac{11\pm \sqrt{1}}{2}, x=\frac{11\pm 1}{2} \\ x=6 \text{или} x=5 \\ \text{Ответ:} 5; 6 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} x^2-5x-3=2x-5 \\ {x}^2-5x-3-2x+5=0 \\ {x}^2-7x+2=0 \\ D={(-7)}^2-4·1·2=49-8=41>0 \\ x=\frac{7\pm \sqrt{41}}{2} \\ \text{Ответ:} \frac{7+\sqrt{41}}{2}; \frac{7-\sqrt{41}}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 7x+1=3x^2-2x+1 \\ 3x^2-2x+1-7x-1=0 \\ 3x^2-9x=0 \\ 3x(x-3)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& x-3=0\\ & & x=3\end{array} \\ \text{Ответ:} 0; 3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} -2x^2+5x+6=4x^2+5x \\ -2x^2+5x+6-4x^2-5x=0 \\ -6x^2+6=0 \\ -6(x^2-1)=0 \\ {x}^2-1=0 \\ {x}^2=1 \\ x=1 \text{или} x=-1 \\ \text{Ответ:} -1; 1 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти значения $x$, при которых трёхчлен $x^2 - 11x + 31$ принимает значение, равное 1, необходимо решить уравнение:

$x^2 - 11x + 31 = 1$

Перенесём 1 в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида:

$x^2 - 11x + 31 - 1 = 0$

$x^2 - 11x + 30 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета, согласно которой сумма корней равна 11, а их произведение равно 30. Корни легко подбираются: 5 и 6. Либо можно решить через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 - 120 = 1$

Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{11 - \sqrt{1}}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{11 + \sqrt{1}}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Ответ: 5; 6.

б) Чтобы найти значения $x$, при которых значения многочленов $x^2 - 5x - 3$ и $2x - 5$ равны, приравняем их:

$x^2 - 5x - 3 = 2x - 5$

Перенесём все члены в левую часть и приведём подобные слагаемые:

$x^2 - 5x - 2x - 3 + 5 = 0$

$x^2 - 7x + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 49 - 8 = 41$

Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{7 - \sqrt{41}}{2}$

$x_2 = \frac{7 + \sqrt{41}}{2}$

Ответ: $\frac{7 - \sqrt{41}}{2}$; $\frac{7 + \sqrt{41}}{2}$.

в) Чтобы найти значения $x$, при которых двучлен $7x + 1$ равен трёхчлену $3x^2 - 2x + 1$, приравняем их:

$7x + 1 = 3x^2 - 2x + 1$

Перенесём все члены в правую часть уравнения:

$0 = 3x^2 - 2x - 7x + 1 - 1$

$3x^2 - 9x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x - 3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$3x = 0$ или $x - 3 = 0$

$x_1 = 0$

$x_2 = 3$

Ответ: 0; 3.

г) Чтобы найти значения $x$, при которых трёхчлен $-2x^2 + 5x + 6$ равен двучлену $4x^2 + 5x$, составим уравнение:

$-2x^2 + 5x + 6 = 4x^2 + 5x$

Перенесём все члены в правую часть и приведём подобные слагаемые:

$0 = 4x^2 + 2x^2 + 5x - 5x - 6$

$6x^2 - 6 = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение:

$6x^2 = 6$

$x^2 = 1$

Уравнение имеет два корня:

$x_1 = -1$

$x_2 = 1$

Ответ: -1; 1.