Номер 532, страница 125 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Формула корней квадратного уравнения. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 532, страница 125.

532. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 3x^2-7x+4=0 \\ D={(-7)}^2-4·3·4=49-48=1>0 \\ x=\frac{7\pm \sqrt{1}}{6}, x=\frac{7\pm 1}{6} \\ x=\frac{8}{6} \text{или} x=1 \\ x=\frac{4}{3} \\ x=1\frac{1}{3} \\ \text{Ответ:} 1; 1\frac{1}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 5x^2-8x+3=0 \\ D={(-8)}^2-4·5·3=64-60=4>0 \\ x=\frac{8\pm \sqrt{4}}{10}, x=\frac{8\pm 2}{10} \\ x=1 \text{или} x=0,6 \\ \text{Ответ:} 0,6; 1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 3x^2-13x+14=0 \\ D={(-13)}^2-4·3·14=169-168=1>0 \\ x=\frac{13\pm \sqrt{1}}{6}; x=\frac{13\pm 1}{6} \\ x=\frac{14}{6} \text{или} x=2 \\ x=\frac{7}{3} \\ x=2\frac{1}{3} \\ \text{Ответ:} 2\frac{1}{3}; 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} 2y^2-9y+10=0 \\ D={(-9)}^2-4·2·10=81-80=1>0 \\ y=\frac{9\pm \sqrt{1}}{4}; y=\frac{9\pm 1}{4} \\ y=\frac{10}{4} \text{или} y=2 \\ y=\frac{5}{2} \\ y=2,5 \\ \text{Ответ:} 2,5; 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} 5y^2-6y+1=0 \\ D={(-6)}^2-4·5·1=36-20=16>0 \\ y=\frac{6\pm \sqrt{16}}{10}; y=\frac{6\pm 4}{10} \\ y=1 \text{или} y=0,2 \\ \text{Ответ:} 1; 0,2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} 4x^2+x-33=0 \\ D=1^2-4·4·(-33)=1+528=529>0 \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{529}}{8}, x=\frac{-1\pm 23}{8} \\ x=\frac{22}{8} \text{или} x=-3 \\ x=\frac{11}{4} \\ x=2\frac{3}{4} \\ \text{Ответ:} -3; 2\frac{3}{4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж)}} y^2-10y-24=0 \\ D={(-10)}^2-4·1·(-24)=100+96=196>0 \\ y=\frac{10\pm \sqrt{196}}{2}, y=\frac{10\pm 14}{2} \\ y=12 \text{или} y=-2 \\ \text{Ответ:} -2; 12 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з)}} p^2+p-90=0 \\ D=1-4·1·(-90)=1+360=361>0 \\ p=\frac{-1\pm \sqrt{361}}{2}, p=\frac{-1\pm 19}{2} \\ p=9 \text{или} p=-10 \\ \text{Ответ:} -10; 9 \end{gathered}$$

а) Дано уравнение: $3x^2 - 7x + 4 = 0$.
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a=3$, $b=-7$, $c=4$.
Для решения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$.
Ответ: $1; \frac{4}{3}$.

б) Дано уравнение: $5x^2 - 8x + 3 = 0$.
Коэффициенты: $a=5$, $b=-8$, $c=3$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{4} = 2$.
$x_1 = \frac{-(-8) + 2}{2 \cdot 5} = \frac{8 + 2}{10} = \frac{10}{10} = 1$.
$x_2 = \frac{-(-8) - 2}{2 \cdot 5} = \frac{8 - 2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}; 1$.

в) Дано уравнение: $3x^2 - 13x + 14 = 0$.
Коэффициенты: $a=3$, $b=-13$, $c=14$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 14 = 169 - 168 = 1$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{1} = 1$.
$x_1 = \frac{-(-13) + 1}{2 \cdot 3} = \frac{13 + 1}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$.
$x_2 = \frac{-(-13) - 1}{2 \cdot 3} = \frac{13 - 1}{6} = \frac{12}{6} = 2$.
Ответ: $2; \frac{7}{3}$.

г) Дано уравнение: $2y^2 - 9y + 10 = 0$.
Коэффициенты: $a=2$, $b=-9$, $c=10$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 81 - 80 = 1$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{1} = 1$.
$y_1 = \frac{-(-9) + 1}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 1}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2,5$.
$y_2 = \frac{-(-9) - 1}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 1}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
Ответ: $2; 2,5$.

д) Дано уравнение: $5y^2 - 6y + 1 = 0$.
Коэффициенты: $a=5$, $b=-6$, $c=1$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{16}=4$.
$y_1 = \frac{-(-6) + 4}{2 \cdot 5} = \frac{6 + 4}{10} = \frac{10}{10} = 1$.
$y_2 = \frac{-(-6) - 4}{2 \cdot 5} = \frac{6 - 4}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}; 1$.

е) Дано уравнение: $4x^2 + x - 33 = 0$.
Коэффициенты: $a=4$, $b=1$, $c=-33$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-33) = 1 + 528 = 529$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{529}=23$.
$x_1 = \frac{-1 + 23}{2 \cdot 4} = \frac{22}{8} = \frac{11}{4} = 2,75$.
$x_2 = \frac{-1 - 23}{2 \cdot 4} = \frac{-24}{8} = -3$.
Ответ: $-3; 2,75$.

ж) Дано уравнение: $y^2 - 10y - 24 = 0$.
Коэффициенты: $a=1$, $b=-10$, $c=-24$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{196}=14$.
$y_1 = \frac{-(-10) + 14}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12$.
$y_2 = \frac{-(-10) - 14}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 14}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.
Ответ: $-2; 12$.

з) Дано уравнение: $p^2 + p - 90 = 0$.
Коэффициенты: $a=1$, $b=1$, $c=-90$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{361}=19$.
$p_1 = \frac{-1 + 19}{2 \cdot 1} = \frac{18}{2} = 9$.
$p_2 = \frac{-1 - 19}{2 \cdot 1} = \frac{-20}{2} = -10$.
Ответ: $-10; 9$.