Номер 533, страница 125 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Формула корней квадратного уравнения. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 533, страница 125.

533. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 14x^2-5x-1=0 \\ D={(-5)}^2-4·14·(-1)=25+56=81>0 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{81}}{28}, x=\frac{5\pm 9}{28} \\ x=\frac{14}{28} \text{или} x=-\frac{1}{7} \\ x=\frac{1}{2} \\ \text{Ответ:} -\frac{1}{7}; \frac{1}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} -y^2+3y+5=0 \\ D=3^2-4·(-1)·5=9+20=29>0 \\ y=\frac{-3\pm \sqrt{29}}{-2}, y=\frac{-3\pm \sqrt{29}}{2} \\ y=\frac{3-\sqrt{29}}{2} \text{или} y=\frac{3+\sqrt{29}}{2} \\ \text{Ответ:} \frac{3-\sqrt{29}}{2}; \frac{3+\sqrt{29}}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 2x^2+x+67=0 \\ D=1^2-4·2·67=1-536=-535<0 \\ \text{Ответ: нет корней} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} 1-18p+81p^2=0 \\ 81p^2-18p+1=0 \\ D={(-18)}^2-4·81·1=324-324=0 \\ p=\frac{18}{162}; p=\frac{1}{9} \\ \text{Ответ:} \frac{1}{9} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} -11y+y^2-152=0 \\ {y}^2-11y-152=0 \\ D={(-11)}^2-4·1·(-152)=121+608=729>0 \\ y=\frac{11\pm \sqrt{729}}{2}; y=\frac{11\pm 27}{2} \\ y=19 \text{или} y=-8 \\ \text{Ответ:} -8; 19 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} 18+3x^2-x=0 \\ 3x^2-x+18=0 \\ D={(-1)}^2-4·3·18=1-216=-215<0 \\ \text{Ответ: нет корней} \end{gathered}$$

а) $14x^2 - 5x - 1 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны $a=14$, $b=-5$, $c=-1$.
Для решения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 14 \cdot (-1) = 25 + 56 = 81$.
Так как $D = 81 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$.
Корни находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-5) - 9}{2 \cdot 14} = \frac{5 - 9}{28} = \frac{-4}{28} = -\frac{1}{7}$
$x_2 = \frac{-(-5) + 9}{2 \cdot 14} = \frac{5 + 9}{28} = \frac{14}{28} = \frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{7}; \frac{1}{2}$.

б) $-y^2 + 3y + 5 = 0$

Для удобства умножим все члены уравнения на -1, чтобы коэффициент при старшей степени стал положительным: $y^2 - 3y - 5 = 0$.
Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=-3$, $c=-5$.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 9 + 20 = 29$.
Так как $D = 29 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Корни находим по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{-(-3) - \sqrt{29}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - \sqrt{29}}{2}$
$y_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{29}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + \sqrt{29}}{2}$

Ответ: $\frac{3 - \sqrt{29}}{2}; \frac{3 + \sqrt{29}}{2}$.

в) $2x^2 + x + 67 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=2$, $b=1$, $c=67$.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 67 = 1 - 536 = -535$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.

г) $1 - 18p + 81p^2 = 0$

Перепишем уравнение в стандартном виде: $81p^2 - 18p + 1 = 0$.
Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=9p$ и $b=1$.
Следовательно, уравнение можно записать как $(9p - 1)^2 = 0$.
$9p - 1 = 0$
$9p = 1$
$p = \frac{1}{9}$
В качестве альтернативы можно использовать дискриминант. Для $a=81, b=-18, c=1$:
$D = (-18)^2 - 4 \cdot 81 \cdot 1 = 324 - 324 = 0$.
Так как $D=0$, уравнение имеет один корень: $p = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-18)}{2 \cdot 81} = \frac{18}{162} = \frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$.

д) $-11y + y^2 - 152 = 0$

Перепишем уравнение в стандартном виде: $y^2 - 11y - 152 = 0$.
Коэффициенты: $a=1$, $b=-11$, $c=-152$.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-152) = 121 + 608 = 729$.
Так как $D = 729 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{729} = 27$.
Корни находим по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{-(-11) - 27}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 27}{2} = \frac{-16}{2} = -8$
$y_2 = \frac{-(-11) + 27}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 27}{2} = \frac{38}{2} = 19$

Ответ: $-8; 19$.

е) $18 + 3x^2 - x = 0$

Перепишем уравнение в стандартном виде: $3x^2 - x + 18 = 0$.
Коэффициенты: $a=3$, $b=-1$, $c=18$.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 18 = 1 - 216 = -215$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.