Номер 539, страница 125 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Формула корней квадратного уравнения. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 539, страница 125.

539. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 2x^2-5x-3=0 \\ D={(-5)}^2-4·2·(-3)=25+24=49>0 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{49}}{4}, x=\frac{5\pm 7}{4} \\ x=3 \text{или} x=-\frac{1}{2} \\ \text{Ответ:} -\frac{1}{2}; 3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 3x^2-8x+5=0 \\ D={(-8)}^2-4·3·5=64-60=4>0 \\ x=\frac{8\pm \sqrt{4}}{6}, x=\frac{8\pm 2}{6} \\ x=\frac{10}{6} \text{или} x=1 \\ x=\frac{5}{3} \\ x=1\frac{2}{3} \\ \text{Ответ:} 1; 1\frac{2}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 5x^2+9x+4=0 \\ D=9^2-4·5·4=81-80=1>0 \\ x=\frac{-9\pm \sqrt{1}}{10}; x=\frac{-9\pm 1}{10} \\ x=-0,8 \text{или} x=-1 \\ \text{Ответ:} -0,8; -1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} 36y^2-12y+1=0 \\ D={(-12)}^2-4·36·1=144-144=0 \\ y=\frac{12}{72}; y=\frac{1}{6} \\ \text{Ответ:} \frac{1}{6} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} 3t^2-3t+1=0 \\ D={(-3)}^2-4·3·1=9-12=-3<0 \\ \text{Ответ: нет корней} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} x^2+9x-22=0 \\ D=9^2-4·1·(-22)=81+88=169>0 \\ x=\frac{-9\pm \sqrt{169}}{2}, x=\frac{-9\pm 13}{2} \\ x=2 \text{или} x=-11 \\ \text{Ответ:} -11; 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж)}} y^2-12y+32=0 \\ D={(-12)}^2-4·1·32=144-128=16>0 \\ y=\frac{12\pm \sqrt{16}}{2}, y=\frac{12\pm 4}{2} \\ y=8 \text{или} y=4 \\ \text{Ответ:} 4; 8 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з)}} 100x^2-160x+63=0 \\ 100x^2-2·80x+63=0 \\ {D}_1={(-80)}^2-100·63=6400-6300=100 \\ x=\frac{80\pm \sqrt{100}}{100}, x=\frac{80\pm 10}{100} \\ x=0,9 \text{или} x=0,7 \\ \text{Ответ:} 0,7; 0,9 \end{gathered}$$

а) $2x^2 - 5x - 3 = 0$

Это стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$.

Коэффициенты: $a = 2$, $b = -5$, $c = -3$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-5) - 7}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

$x_2 = \frac{-(-5) + 7}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$

Ответ: -0.5; 3.

б) $3x^2 - 8x + 5 = 0$

Коэффициенты: $a = 3$, $b = -8$, $c = 5$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-8) - 2}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$

$x_2 = \frac{-(-8) + 2}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

Ответ: 1; $\frac{5}{3}$.

в) $5x^2 + 9x + 4 = 0$

Коэффициенты: $a = 5$, $b = 9$, $c = 4$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 81 - 80 = 1$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-9 - 1}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$

$x_2 = \frac{-9 + 1}{2 \cdot 5} = \frac{-8}{10} = -0.8$

Ответ: -1; -0.8.

г) $36y^2 - 12y + 1 = 0$

Коэффициенты: $a = 36$, $b = -12$, $c = 1$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 36 \cdot 1 = 144 - 144 = 0$.

Так как $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень. Можно также заметить, что левая часть является полным квадратом: $(6y - 1)^2 = 0$.

Найдем корень по формуле $y = \frac{-b}{2a}$:

$y = \frac{-(-12)}{2 \cdot 36} = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$.

д) $3t^2 - 3t + 1 = 0$

Коэффициенты: $a = 3$, $b = -3$, $c = 1$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 9 - 12 = -3$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

е) $x^2 + 9x - 22 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение ($a=1$).

Коэффициенты: $a = 1$, $b = 9$, $c = -22$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 81 + 88 = 169$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-9 - 13}{2 \cdot 1} = \frac{-22}{2} = -11$

$x_2 = \frac{-9 + 13}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: -11; 2.

ж) $y^2 - 12y + 32 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение ($a=1$).

Коэффициенты: $a = 1$, $b = -12$, $c = 32$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 - 128 = 16$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{16} = 4$.

Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{-(-12) - 4}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 4}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$y_2 = \frac{-(-12) + 4}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 4}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Ответ: 4; 8.

з) $100x^2 - 160x + 63 = 0$

Коэффициенты: $a = 100$, $b = -160$, $c = 63$.

Так как коэффициент $b$ четный, удобно использовать формулу для четного второго коэффициента $D_1 = (\frac{b}{2})^2 - ac$.

$k = \frac{b}{2} = \frac{-160}{2} = -80$.

$D_1 = (-80)^2 - 100 \cdot 63 = 6400 - 6300 = 100$.

Корни находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:

$x_1 = \frac{80 - \sqrt{100}}{100} = \frac{80 - 10}{100} = \frac{70}{100} = 0.7$

$x_2 = \frac{80 + \sqrt{100}}{100} = \frac{80 + 10}{100} = \frac{90}{100} = 0.9$

Ответ: 0.7; 0.9.