Номер 543, страница 126 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Формула корней квадратного уравнения. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 543, страница 126.

543. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} {(x+4)}^2=3x+40 \\ {x}^2+8x+16-3x-40=0 \\ {x}^2+5x-24=0 \\ D=5^2-4·1·(-24)=25+96=121>0 \\ x=\frac{-5\pm \sqrt{121}}{2}, x=\frac{-5\pm 11}{2} \\ x=3 \text{или} x=-8 \\ \text{Ответ:} -8; 3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} {(2p-3)}^2=11p-19 \\ 4p^2-12p+9=11p-19 \\ 4p^2-12p-11p+9+19=0 \\ 4p^2-23p+28=0 \\ D={(-23)}^2-4·4·28=529-448=81>0 \\ p=\frac{23\pm \sqrt{81}}{8}, p=\frac{23\pm 9}{8} \\ p=4 \text{или} p=\frac{14}{8}; \\ p=\frac{7}{4}; p=1\frac{3}{4} \\ \text{Ответ:} 1\frac{3}{4}; 4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 3{(x+4)}^2=10x+32 \\ 3(x^2+8x+16)=10x+32 \\ 3x^2+24x+48-10x-32=0 \\ 3x^2+14x+16=0 \\ D={14}^2-4·3·16=196-192=4>0 \\ x=\frac{-14\pm \sqrt{4}}{6}; x=\frac{-14\pm 2}{6} \\ x=-2 \text{или} x=-\frac{16}{6} \\ x=-\frac{8}{3} \\ x=-2\frac{2}{3} \\ \text{Ответ:} -2; -2\frac{2}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} 15y^2+17=15{(y+1)}^2 \\ 15y^2+17=15(y^2+2y+1) \\ 15y^2+17=15y^2+30y+15 \\ 15y^2-15y^2-30y+17-15=0 \\ -30y+2=0 \\ -30y=-2 \\ y=\frac{2}{30}; y=\frac{1}{15} \\ \text{Ответ:} \frac{1}{15} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} {(x+1)}^2=7918-2x \\ {x}^2+2x+1+2x-7918=0 \\ {x}^2+4x-7917=0 \\ {x}^2+2·2x-7917=0 \\ {D}_1=2^2-1·(-7917)=4+7917=7921 \\ x=\frac{-2\pm \sqrt{7921}}{1}; x=-2\pm 89 \\ x=87 \text{или} x=-91 \\ \text{Ответ:} -91; 87 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} {(m+2)}^2=3131-2m \\ {m}^2+4m+4+2m-3131=0 \\ {m}^2+6m-3127=0 \\ {m}^2+2·3m-3127=0 \\ {D}_1=3^2-1·(-3127)=9+3127=3136 \\ m=\frac{-3\pm \sqrt{3136}}{1}, m=-3\pm 56 \\ m=53 \text{или} m=-59 \\ \text{Ответ:} -59; 53 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} {(m+2)}^2=3131-2m \\ {m}^2+4m+4+2m-3131=0 \\ {m}^2+6m-3127=0 \\ {m}^2+2·3m-3127=0 \\ {D}_1=3^2-1·(-3127)=9+3127=3136 \\ m=\frac{-3\pm \sqrt{3136}}{1}, m=-3\pm 56 \\ m=53 \text{или} m=-59 \\ \text{Ответ:} -59; 53 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж)}} {(x+1)}^2={(2x-1)}^2 \\ {x}^2-2x+1=4x^2-4x+1 \\ {x}^2+2x+1-4x^2+4x-1=0 \\ -3x^2+6x=0 \\ -3x(x-2)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& x-2=0\\ & & x=2\end{array} \\ \text{Ответ:} 0; 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з)}} {(n-2)}^2+48={(2-3n)}^2 \\ {n}^2-4n+4+48=4-12n+9n^2 \\ {n}^2-4n+52-4+12n-9n^2=0 \\ -8n^2+8n+48=0 /:(-8) \\ {n}^2-n-6=0 \\ D={(-1)}^2-4·1·(-6)=1+24=25 \\ n=\frac{1\pm \sqrt{25}}{2}, n=\frac{1\pm 5}{2} \\ n=3 \text{или} n=-2 \\ \text{Ответ:} -2; 3 \end{gathered}$$

а) Дано уравнение $(x + 4)^2 = 3x + 40$.
Сначала раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = 3x + 40$
$x^2 + 8x + 16 = 3x + 40$
Теперь перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + 8x - 3x + 16 - 40 = 0$
$x^2 + 5x - 24 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-5 + 11}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-5 - 11}{2 \cdot 1} = \frac{-16}{2} = -8$

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -8$.

б) Дано уравнение $(2p - 3)^2 = 11p - 19$.
Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(2p)^2 - 2 \cdot 2p \cdot 3 + 3^2 = 11p - 19$
$4p^2 - 12p + 9 = 11p - 19$
Перенесем все члены в левую часть:
$4p^2 - 12p - 11p + 9 + 19 = 0$
$4p^2 - 23p + 28 = 0$
Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-23)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 28 = 529 - 448 = 81$.
$\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$.
Найдем корни по формуле $p_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$p_1 = \frac{23 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$
$p_2 = \frac{23 - 9}{2 \cdot 4} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4}$

Ответ: $p_1 = 4, p_2 = \frac{7}{4}$.

в) Дано уравнение $3(x + 4)^2 = 10x + 32$.
Раскроем скобки $(x+4)^2$ и умножим на 3:
$3(x^2 + 8x + 16) = 10x + 32$
$3x^2 + 24x + 48 = 10x + 32$
Перенесем все члены в левую часть:
$3x^2 + 24x - 10x + 48 - 32 = 0$
$3x^2 + 14x + 16 = 0$
Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
$D = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 196 - 192 = 4$.
$\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-14 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$
$x_2 = \frac{-14 - 2}{2 \cdot 3} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}$

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = -\frac{8}{3}$.

г) Дано уравнение $15y^2 + 17 = 15(y + 1)^2$.
Раскроем скобки в правой части:
$15y^2 + 17 = 15(y^2 + 2y + 1)$
$15y^2 + 17 = 15y^2 + 30y + 15$
Перенесем члены с переменной в одну сторону, а константы в другую. Члены $15y^2$ взаимно уничтожаются:
$17 - 15 = 30y$
$2 = 30y$
$y = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$

Ответ: $y = \frac{1}{15}$.

д) Дано уравнение $(x + 1)^2 = 7918 - 2x$.
Раскроем скобки в левой части:
$x^2 + 2x + 1 = 7918 - 2x$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 + 2x + 2x + 1 - 7918 = 0$
$x^2 + 4x - 7917 = 0$
Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7917) = 16 + 31668 = 31684$.
Найдем корень из дискриминанта. $\sqrt{31684} = 178$. Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-4 + 178}{2} = \frac{174}{2} = 87$
$x_2 = \frac{-4 - 178}{2} = \frac{-182}{2} = -91$
Примечание: Для четного второго коэффициента $b=2k$ можно использовать формулу $D/4 = k^2 - ac$. Здесь $k=2$, $D/4 = 2^2 - 1(-7917) = 4 + 7917 = 7921$. $\sqrt{7921}=89$. Тогда $x_{1,2} = -k \pm \sqrt{D/4} = -2 \pm 89$, что дает те же корни 87 и -91.

Ответ: $x_1 = 87, x_2 = -91$.

е) Дано уравнение $(m + 2)^2 = 3131 - 2m$.
Раскроем скобки в левой части:
$m^2 + 4m + 4 = 3131 - 2m$
Перенесем все члены в левую часть:
$m^2 + 4m + 2m + 4 - 3131 = 0$
$m^2 + 6m - 3127 = 0$
Решим квадратное уравнение. Второй коэффициент четный ($k=3$), используем формулу для $D/4$:
$D/4 = k^2 - ac = 3^2 - 1 \cdot (-3127) = 9 + 3127 = 3136$.
$\sqrt{D/4} = \sqrt{3136} = 56$.
Найдем корни по формуле $m_{1,2} = -k \pm \sqrt{D/4}$:
$m_1 = -3 + 56 = 53$
$m_2 = -3 - 56 = -59$

Ответ: $m_1 = 53, m_2 = -59$.

ж) Дано уравнение $(x + 1)^2 = (2x - 1)^2$.
Это уравнение вида $A^2 = B^2$, которое равносильно совокупности двух уравнений: $A=B$ или $A=-B$.
1) $x + 1 = 2x - 1$
$1 + 1 = 2x - x$
$x = 2$
2) $x + 1 = -(2x - 1)$
$x + 1 = -2x + 1$
$x + 2x = 1 - 1$
$3x = 0$
$x = 0$
Другой способ - перенести все в левую часть и использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(x + 1)^2 - (2x - 1)^2 = 0$
$((x + 1) - (2x - 1))((x + 1) + (2x - 1)) = 0$
$(x + 1 - 2x + 1)(x + 1 + 2x - 1) = 0$
$(-x + 2)(3x) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$-x + 2 = 0 \Rightarrow x = 2$
$3x = 0 \Rightarrow x = 0$

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 2$.

з) Дано уравнение $(n - 2)^2 + 48 = (2 - 3n)^2$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$(n^2 - 4n + 4) + 48 = 4 - 12n + 9n^2$
$n^2 - 4n + 52 = 9n^2 - 12n + 4$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $n^2$ был положительным:
$0 = 9n^2 - n^2 - 12n + 4n + 4 - 52$
$0 = 8n^2 - 8n - 48$
Разделим все уравнение на 8 для упрощения:
$n^2 - n - 6 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $n_1 + n_2 = 1$, а произведение $n_1 \cdot n_2 = -6$.
Подбором находим корни: $n_1 = 3$ и $n_2 = -2$.
Проверим через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.
$\sqrt{D} = 5$.
$n_1 = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$n_2 = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: $n_1 = 3, n_2 = -2$.