Номер 537, страница 125 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Формула корней квадратного уравнения. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 537, страница 125.

537. Решите уравнение, используя формулу (II):

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 3x^2-14x+16=0 \\ 3x^2-2·7x+16=0 \\ {D}_1={(-7)}^2-3·16=49-48=1 \\ x=\frac{7\pm \sqrt{1}}{3}, x=\frac{7\pm 1}{3} \\ x=\frac{8}{3} \text{или} x=2 \\ x=2\frac{2}{3} \\ \text{Ответ:} 2; 2\frac{2}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 5p^2-16p+3=0 \\ 5p^2-2·8p+3=0 \\ {D}_1={(-8)}^2-5·3=64-15=49 \\ p=\frac{8\pm \sqrt{49}}{5}, p=\frac{8\pm 7}{5} \\ p=3 \text{или} p=\frac{1}{5} \\ \text{Ответ:} \frac{1}{5}; 3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} d^2+2d-80=0 \\ {D}_1=1^2-1·(-80)=1+80=81 \\ d=\frac{-1\pm \sqrt{81}}{1}, d=-1\pm 9 \\ d=8 \text{или} d=-10 \\ \text{Ответ:} -10; 8 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} x^2-22x-23=0 \\ {x}^2-2·11x-23=0 \\ {D}_1={(-11)}^2-1·(-23)=121+23=144 \\ x=\frac{11\pm \sqrt{144}}{1}; x=11\pm 12 \\ x=23 \text{или} x=-1 \\ \text{Ответ:} -1; 23 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} 4t^2-36t+77=0 \\ 4t^2-2·18t+77=0 \\ {D}_1={(-18)}^2-4·77=324-308=16 \\ t=\frac{18\pm \sqrt{16}}{4}, t=\frac{18\pm 4}{4} \\ t=5,5 \text{или} t=3,5 \\ \text{Ответ:} 5,5; 3,5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} 15y^2-22y-37=0 \\ 15y^2-2·11y-37=0 \\ {D}_1={(-11)}^2-15·(-37)=121+555=676 \\ y=\frac{11\pm \sqrt{676}}{15}, y=\frac{11\pm 26}{15} \\ y=\frac{37}{15} \text{или} y=-1 \\ y=2\frac{7}{15} \\ \text{Ответ:} -1; 2\frac{7}{15} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж)}} 7z^2-20z+14=0 \\ 7z^2-2·10z+14=0 \\ {D}_1={(-10)}^2-7·14=100-98=2 \\ z=\frac{10\pm \sqrt{2}}{7} \\ \text{Ответ:} \frac{10+\sqrt{2}}{7}, \frac{10-\sqrt{2}}{7} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з)}} y^2-10y-25=0 \\ {y}^2-2·5y-25=0 \\ {D}_1={(-5)}^2-1·(-25)=25+25=50 \\ y=\frac{5\pm \sqrt{50}}{1}, y=5\pm \sqrt{25·2} \\ y=5\pm 5\sqrt{2} \\ \text{Ответ:} 5+5\sqrt{2}; 5-5\sqrt{2} \end{gathered}$$

а) Для уравнения $3x^2 - 14x + 16 = 0$ коэффициенты $a=3, b=-14, c=16$.
Так как $b$ - четное число, используем формулу для корней через половинный коэффициент $k = \frac{b}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.
Дискриминант $D_1 = k^2 - ac = (-7)^2 - 3 \cdot 16 = 49 - 48 = 1$.
Корни находим по формуле $x = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{1}}{3} = \frac{7 \pm 1}{3}$.
$x_1 = \frac{7 - 1}{3} = \frac{6}{3} = 2$.
$x_2 = \frac{7 + 1}{3} = \frac{8}{3}$.

Ответ: $2; \frac{8}{3}$.

б) Для уравнения $5p^2 - 16p + 3 = 0$ коэффициенты $a=5, b=-16, c=3$.
Так как $b$ - четное число, используем формулу для корней через половинный коэффициент $k = \frac{b}{2} = \frac{-16}{2} = -8$.
Дискриминант $D_1 = k^2 - ac = (-8)^2 - 5 \cdot 3 = 64 - 15 = 49$.
Корни находим по формуле $p = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$p = \frac{-(-8) \pm \sqrt{49}}{5} = \frac{8 \pm 7}{5}$.
$p_1 = \frac{8 - 7}{5} = \frac{1}{5}$.
$p_2 = \frac{8 + 7}{5} = \frac{15}{5} = 3$.

Ответ: $\frac{1}{5}; 3$.

в) Для уравнения $d^2 + 2d - 80 = 0$ коэффициенты $a=1, b=2, c=-80$.
Так как $b$ - четное число, используем формулу для корней через половинный коэффициент $k = \frac{b}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Дискриминант $D_1 = k^2 - ac = 1^2 - 1 \cdot (-80) = 1 + 80 = 81$.
Корни находим по формуле $d = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$d = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{1} = -1 \pm 9$.
$d_1 = -1 - 9 = -10$.
$d_2 = -1 + 9 = 8$.

Ответ: $-10; 8$.

г) Для уравнения $x^2 - 22x - 23 = 0$ коэффициенты $a=1, b=-22, c=-23$.
Так как $b$ - четное число, используем формулу для корней через половинный коэффициент $k = \frac{b}{2} = \frac{-22}{2} = -11$.
Дискриминант $D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 1 \cdot (-23) = 121 + 23 = 144$.
Корни находим по формуле $x = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$x = \frac{-(-11) \pm \sqrt{144}}{1} = 11 \pm 12$.
$x_1 = 11 - 12 = -1$.
$x_2 = 11 + 12 = 23$.

Ответ: $-1; 23$.

д) Для уравнения $4t^2 - 36t + 77 = 0$ коэффициенты $a=4, b=-36, c=77$.
Так как $b$ - четное число, используем формулу для корней через половинный коэффициент $k = \frac{b}{2} = \frac{-36}{2} = -18$.
Дискриминант $D_1 = k^2 - ac = (-18)^2 - 4 \cdot 77 = 324 - 308 = 16$.
Корни находим по формуле $t = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$t = \frac{-(-18) \pm \sqrt{16}}{4} = \frac{18 \pm 4}{4}$.
$t_1 = \frac{18 - 4}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} = 3.5$.
$t_2 = \frac{18 + 4}{4} = \frac{22}{4} = \frac{11}{2} = 5.5$.

Ответ: $3.5; 5.5$.

е) Для уравнения $15y^2 - 22y - 37 = 0$ коэффициенты $a=15, b=-22, c=-37$.
Так как $b$ - четное число, используем формулу для корней через половинный коэффициент $k = \frac{b}{2} = \frac{-22}{2} = -11$.
Дискриминант $D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 15 \cdot (-37) = 121 + 555 = 676$.
Корни находим по формуле $y = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$y = \frac{-(-11) \pm \sqrt{676}}{15} = \frac{11 \pm 26}{15}$.
$y_1 = \frac{11 - 26}{15} = \frac{-15}{15} = -1$.
$y_2 = \frac{11 + 26}{15} = \frac{37}{15}$.

Ответ: $-1; \frac{37}{15}$.

ж) Для уравнения $7z^2 - 20z + 14 = 0$ коэффициенты $a=7, b=-20, c=14$.
Так как $b$ - четное число, используем формулу для корней через половинный коэффициент $k = \frac{b}{2} = \frac{-20}{2} = -10$.
Дискриминант $D_1 = k^2 - ac = (-10)^2 - 7 \cdot 14 = 100 - 98 = 2$.
Корни находим по формуле $z = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$z = \frac{-(-10) \pm \sqrt{2}}{7} = \frac{10 \pm \sqrt{2}}{7}$.
$z_1 = \frac{10 - \sqrt{2}}{7}$.
$z_2 = \frac{10 + \sqrt{2}}{7}$.

Ответ: $\frac{10 - \sqrt{2}}{7}; \frac{10 + \sqrt{2}}{7}$.

з) Для уравнения $y^2 - 10y - 25 = 0$ коэффициенты $a=1, b=-10, c=-25$.
Так как $b$ - четное число, используем формулу для корней через половинный коэффициент $k = \frac{b}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.
Дискриминант $D_1 = k^2 - ac = (-5)^2 - 1 \cdot (-25) = 25 + 25 = 50$.
Корни находим по формуле $y = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:
$y = \frac{-(-5) \pm \sqrt{50}}{1} = 5 \pm \sqrt{25 \cdot 2} = 5 \pm 5\sqrt{2}$.
$y_1 = 5 - 5\sqrt{2}$.
$y_2 = 5 + 5\sqrt{2}$.

Ответ: $5 - 5\sqrt{2}; 5 + 5\sqrt{2}$.