Номер 536, страница 125 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Формула корней квадратного уравнения. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 536, страница 125.

536. При каких значениях х принимают равные значения:

а) двучлены x² – 6x и 5x – 18;

б) трёхчлены 3x² – 4x + 3 и x² + x + 1?

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} x^2-6x=5x-18 \\ {x}^2-6x-5x+18=0 \\ {x}^2-11x+18=0 \\ D={(-11)}^2-4·1·18=121-72=49>0 \\ x=\frac{11\pm \sqrt{49}}{2}, x=\frac{11\pm 7}{2} \\ x=9 \text{или} x=2 \\ \text{Ответ:} 2; 9 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 3x^2-4x+3=x^2+x+1 \\ 3x^2-4x+3-x^2-x-1=0 \\ 2x^2-5x+2=0 \\ D={(-5)}^2-4·2·2=25-16=9>0 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{9}}{4}, x=\frac{5\pm 3}{4} \\ x=2 \text{или} x=\frac{1}{2} \\ \text{Ответ:} \frac{1}{2}; 2 \end{gathered}$$

а)

Чтобы найти значения $x$, при которых двучлены $x^2 - 6x$ и $5x - 18$ принимают равные значения, необходимо приравнять их друг к другу и решить полученное уравнение:

$x^2 - 6x = 5x - 18$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 6x - 5x + 18 = 0$

$x^2 - 11x + 18 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-11$, $c=18$:

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 121 - 72 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: $x = 2$, $x = 9$.

б)

Чтобы найти значения $x$, при которых трёхчлены $3x^2 - 4x + 3$ и $x^2 + x + 1$ принимают равные значения, приравняем их и решим уравнение:

$3x^2 - 4x + 3 = x^2 + x + 1$

Перенесем все члены в левую часть уравнения и приведем подобные слагаемые:

$3x^2 - x^2 - 4x - x + 3 - 1 = 0$

$2x^2 - 5x + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=2$, $b=-5$, $c=2$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

Дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$

Ответ: $x = 0.5$, $x = 2$.