Номер 541, страница 126 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Формула корней квадратного уравнения. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 541, страница 126.

541. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 25=26x-x^2 \\ {x}^2-26x+25=0 \\ D={(-26)}^2-4·1·25=676-100=576>0 \\ x=\frac{26\pm \sqrt{576}}{2}, x=\frac{26\pm 24}{2} \\ x=25 \text{или} x=1 \\ \text{Ответ:} 1; 25 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 3t^2=10-29t \\ 3t^2+29t-10=0 \\ D={29}^2-4·3·(-10)=841+120=961>0 \\ t=\frac{-29\pm \sqrt{961}}{6}, t=\frac{-29\pm 31}{6} \\ t=\frac{1}{3} \text{или} t=-10 \\ \text{Ответ:} -10; \frac{1}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} y^2=4y+96 \\ {y}^2-4y-96=0 \\ D={(-4)}^2-4·1·(-96)=16+384=400>0 \\ y=\frac{4\pm \sqrt{400}}{2}; y=\frac{4\pm 20}{2} \\ y=12 \text{или} y=-8 \\ \text{Ответ:} -8; 12 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} 3p^2+3=10p \\ 3p^2-10p+3=0 \\ D={(-10)}^2-4·3·3=100-36=64>0 \\ p=\frac{10\pm \sqrt{64}}{6}; p=\frac{10\pm 8}{6} \\ p=3; p=\frac{1}{3} \\ \text{Ответ:} \frac{1}{3}; 3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} x^2-20x=20x+100 \\ {x}^2-20x-20x-100=0 \\ {x}^2-40x-100=0 \\ D={(-40)}^2-4·1·(-100)=1600+400=2000 \\ x=\frac{40\pm \sqrt{2000}}{2}, x=\frac{40\pm \sqrt{5·400}}{2} \\ x=\frac{40\pm 20\sqrt{5}}{2}, x=20\pm 10\sqrt{5} \\ \text{Ответ:} 20+10\sqrt{5}; 20-10\sqrt{5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} 25x^2-13x=10x^2-7 \\ 25x^2-10x^2-13x+7=0 \\ 15x^2-13x+7=0 \\ D={(-13)}^2-4·15·7=169-420=-251<0 \\ \text{Ответ: корней нет} \end{gathered}$$

а) $25 = 26x - x^2$

Для решения данного уравнения перенесем все его члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$.

$x^2 - 26x + 25 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=-26$, $c=25$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-26)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 676 - 100 = 576$

Поскольку дискриминант положительный ($D > 0$), уравнение имеет два действительных корня. Найдем их, используя формулу корней квадратного уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-26) + \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{26 + 24}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$x_2 = \frac{-(-26) - \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{26 - 24}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: $1; 25$.

б) $3t^2 = 10 - 29t$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$3t^2 + 29t - 10 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=3$, $b=29$, $c=-10$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 29^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 841 + 120 = 961$

Дискриминант положителен. Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-29 + \sqrt{961}}{2 \cdot 3} = \frac{-29 + 31}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-29 - \sqrt{961}}{2 \cdot 3} = \frac{-29 - 31}{6} = \frac{-60}{6} = -10$

Ответ: $-10; \frac{1}{3}$.

в) $y^2 = 4y + 96$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$y^2 - 4y - 96 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=-4$, $c=-96$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400$

Дискриминант положителен. Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) + \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 20}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) - \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 20}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Ответ: $-8; 12$.

г) $3p^2 + 3 = 10p$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$3p^2 - 10p + 3 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=3$, $b=-10$, $c=3$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$

Дискриминант положителен. Найдем корни уравнения:

$p_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-10) + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$p_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-10) - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}; 3$.

д) $x^2 - 20x = 20x + 100$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 - 20x - 20x - 100 = 0$

$x^2 - 40x - 100 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=-40$, $c=-100$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 1600 + 400 = 2000$

Дискриминант положителен. Упростим корень из дискриминанта: $\sqrt{2000} = \sqrt{400 \cdot 5} = 20\sqrt{5}$.

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-40) \pm 20\sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{40 \pm 20\sqrt{5}}{2} = 20 \pm 10\sqrt{5}$

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 20 + 10\sqrt{5}$ и $x_2 = 20 - 10\sqrt{5}$.

Ответ: $20 - 10\sqrt{5}; 20 + 10\sqrt{5}$.

е) $25x^2 - 13x = 10x^2 - 7$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$25x^2 - 10x^2 - 13x + 7 = 0$

$15x^2 - 13x + 7 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=15$, $b=-13$, $c=7$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 7 = 169 - 420 = -251$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.