Номер 547, страница 127 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Формула корней квадратного уравнения. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 547, страница 127.

547. Решите уравнение x² = 0,5x + 3 сначала графически, а затем с помощью формулы корней.

$$\begin{gathered} x^2=0,5x+3 \\ {x}^2-0,5x-3=0 \\ D={(-0,5)}^2-4·1·(-3)=0,25+12=12,25>0 \\ x=\frac{0,5\pm \sqrt{12,25}}{2} \\ x=\frac{0,5\pm 3,5}{2} \\ x=2 \text{или} x=-1,5 \\ y=x^2 \\ y=0,5x+3 \end{gathered}$$

x	0	-2
y	3	2

x=-1,5; x=2

Ответ: -1,5; 2

Решение графически

Чтобы решить уравнение $x^2 = 0,5x + 3$ графически, нужно построить графики двух функций в одной системе координат и найти абсциссы (координаты $x$) точек их пересечения.
Разобьем уравнение на две функции:
1. $y = x^2$ — график этой функции является параболой.
2. $y = 0,5x + 3$ — график этой функции является прямой.

1. Построение параболы $y = x^2$:
Это стандартная парабола с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх. Составим таблицу значений:

$x$	-2	-1,5	-1	0	1	2
$y = x^2$	4	2,25	1	0	1	4

2. Построение прямой $y = 0,5x + 3$:
Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.
- Если $x = 0$, то $y = 0,5 \cdot 0 + 3 = 3$. Получаем точку (0, 3).
- Если $x = 2$, то $y = 0,5 \cdot 2 + 3 = 1 + 3 = 4$. Получаем точку (2, 4).

3. Нахождение точек пересечения:
Построим эти два графика на одной координатной плоскости. Мы увидим, что они пересекаются в двух точках.
- Первая точка пересечения имеет координаты (2, 4). Абсцисса этой точки $x = 2$.
- Вторая точка пересечения имеет координаты (-1,5; 2,25). Абсцисса этой точки $x = -1,5$.
Абсциссы точек пересечения и являются корнями исходного уравнения.

Ответ: Корнями уравнения являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -1,5$.

Решение с помощью формулы корней

Для решения уравнения с помощью формулы корней необходимо привести его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.
$x^2 = 0,5x + 3$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - 0,5x - 3 = 0$

Чтобы упростить вычисления, умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$2 \cdot (x^2 - 0,5x - 3) = 2 \cdot 0$
$2x^2 - x - 6 = 0$

Теперь коэффициенты уравнения: $a = 2$, $b = -1$, $c = -6$.
Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 - (-48) = 1 + 48 = 49$.

Так как $D = 49 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} = -1,5$.

Результаты, полученные аналитически, совпадают с результатами графического решения.

Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = -1,5$.