Номер 553, страница 127 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Формула корней квадратного уравнения. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 553, страница 127.

553. Существует ли такое значение а, при котором уравнение

x² – ax + a – 4 = 0:

а) не имеет корней;

б) имеет один корень;

в) имеет два корня?

$$\begin{gathered} x^2-ax+a-4=0 \\ D={(-a)}^2-4·1·(a-4)=a^2-4a+16 \\ x=\frac{a\pm \sqrt{a^2-4a+16}}{2a} \\ {x}_1=\frac{a+\sqrt{a^2-4a+16}}{2a} \\ {x}_2=\frac{a-\sqrt{a^2-4a+16}}{2a} \\ {a}^2-4a+16=a^2-4a+4+12={(a-2)}^2+12>0 \end{gathered}$$

при любом значении a

Значит, уравнение имеет два корня

a) не существует;

б) не существует;

в) a - любое число

Для решения данной задачи необходимо проанализировать дискриминант квадратного уравнения $x^2 - ax + a - 4 = 0$.

Квадратное уравнение имеет вид $Ax^2+Bx+C=0$. В нашем случае коэффициенты равны: $A=1$, $B=-a$, $C=a-4$.

Количество корней уравнения зависит от знака дискриминанта $D = B^2 - 4AC$.

• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень.
• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Вычислим дискриминант для данного уравнения:

$D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - 4) = a^2 - 4a + 16$.

Чтобы проанализировать знак дискриминанта, представим выражение $a^2 - 4a + 16$ в виде полного квадрата:

$D = a^2 - 4a + 4 + 12 = (a - 2)^2 + 12$.

Поскольку выражение $(a - 2)^2$ всегда неотрицательно (т.е. $(a - 2)^2 \ge 0$) для любого действительного значения $a$, то минимальное значение дискриминанта $D$ достигается при $a=2$ и равно $12$. Таким образом, для любого значения $a$ дискриминант $D$ будет больше или равен $12$, то есть $D \ge 12$.

Теперь ответим на поставленные вопросы.

а) не имеет корней;

Уравнение не имеет корней, если его дискриминант $D < 0$. Мы установили, что $D = (a-2)^2 + 12$, и его наименьшее значение равно $12$. Следовательно, дискриминант всегда положителен и никогда не может быть отрицательным. Значит, не существует такого значения $a$, при котором уравнение не имеет корней.

Ответ: нет, не существует.

б) имеет один корень;

Уравнение имеет один корень, если его дискриминант $D = 0$. Нам нужно было бы решить уравнение $(a-2)^2 + 12 = 0$, или $(a-2)^2 = -12$. Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, не существует такого значения $a$, при котором уравнение имеет ровно один корень.

Ответ: нет, не существует.

в) имеет два корня?

Уравнение имеет два корня, если его дискриминант $D > 0$. Как мы показали, $D = (a-2)^2 + 12$. Поскольку $(a-2)^2 \ge 0$, то $D \ge 12$. Так как $12 > 0$, дискриминант всегда положителен при любом действительном значении $a$. Это означает, что для любого значения $a$ уравнение будет иметь два различных действительных корня.

Ответ: да, существует. Уравнение имеет два корня при любом действительном значении $a$.