Номер 557, страница 129 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Решение задач. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 557, страница 129.

557. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 6 больше другого, равно 187. Найдите эти числа.

Пусть x-одно число, тогда x+6 - другое число. Зная, что произведение этих чисел равно 187, составим и решим уравнение

1) x(x+6)=187

$$\begin{gathered} x^2+6x-187=0 \\ D=6^2-4·1·(-187)=36+748=784 \\ x=\frac{-6\pm \sqrt{784}}{2}; x=\frac{-6\pm 28}{2} \\ x=11 \text{или} x=-17\notin N \end{gathered}$$

2) 11+6=17

Ответ: 11 и 17

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть меньшее из двух натуральных чисел равно $x$.

Согласно условию, второе число на 6 больше первого, следовательно, оно равно $x + 6$.

Произведение этих двух чисел равно 187. Мы можем составить уравнение:

$x \cdot (x + 6) = 187$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 6x = 187$

$x^2 + 6x - 187 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-187) = 36 + 748 = 784$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{784}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 28}{2} = \frac{22}{2} = 11$

$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{784}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 28}{2} = \frac{-34}{2} = -17$

По условию задачи, мы ищем натуральные числа, а натуральные числа — это целые положительные числа. Корень $x_2 = -17$ не является натуральным числом, поэтому он не является решением задачи.

Единственный подходящий корень — $x_1 = 11$. Это первое (меньшее) число.

Второе число равно $x + 6$, то есть $11 + 6 = 17$.

Проверим найденные числа: они оба натуральные, их разность равна $17 - 11 = 6$, а их произведение равно $11 \cdot 17 = 187$. Условия задачи выполнены.

Ответ: 11 и 17.